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本研究的主要作者包括Jingshan Zhong、Lei Tian、Paroma Varma和Laura Waller。他们分别来自加州大学伯克利分校电气工程与计算机科学系以及斯坦福大学电气工程系。该研究发表于2016年的IEEE Transactions on Computational Imaging期刊。
本研究的主要科学领域是计算成像（Computational Imaging），特别是相位恢复（Phase Retrieval）和光源恢复（Source Recovery）问题。相位恢复是指从一系列通过焦点的强度图像中重建样品的复场（包括相位和振幅），而光源恢复则涉及从这些图像中推断出照明光源的空间相干性。传统的相位恢复算法主要基于相干成像模型，假设光源为理想的平面波。然而，实际应用中，部分相干照明（Partially Coherent Illumination）更为常见，它可以减少散斑噪声、提高光通量，并提升分辨率。因此，开发一种能够同时处理部分相干照明和光源恢复的算法具有重要意义。
本研究的目的是提出一种新的非线性优化算法，用于从部分相干照明下的焦点堆栈图像中同时恢复样品的复场和光源分布。该算法基于改进的高斯-牛顿法（Gauss-Newton Method），并通过实验验证了其在相干和部分相干照明下的优越性能。
问题建模与算法设计
研究首先将联合恢复问题建模为一个非线性最小二乘优化问题，目标是最小化测量强度与预测强度之间的均方误差。为了高效求解该问题，研究团队提出了一种改进的高斯-牛顿法，并推导了代价函数的梯度（Gradient）和海森矩阵（Hessian Matrix）。由于海森矩阵的计算复杂度较高，研究团队利用快速傅里叶变换（FFT）和共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）实现了高效计算。
相位恢复与光源恢复的分步优化
研究将联合优化问题分解为两个子问题：已知光源下的相位恢复和已知复场下的光源恢复。对于相位恢复，研究团队比较了多种优化算法，包括传统的Gerchberg-Saxton算法、梯度下降法（Gradient Descent）、稀疏卡尔曼滤波法（Sparse Kalman Filter）以及L-BFGS算法。结果显示，改进的高斯-牛顿法在收敛速度和精度上均优于其他方法。对于光源恢复，研究团队将问题转化为一个去卷积问题，并通过共轭梯度法高效求解。
联合优化与迭代更新
研究提出了一种交替最小化方法，通过迭代更新复场和光源的估计值。具体流程为：首先固定复场估计值，优化光源；然后固定光源估计值，优化复场。每次迭代都会减少代价函数，最终收敛到一个局部最优解。
实验验证
研究在商业显微镜上进行了实验验证，使用了Köhler照明和可编程LED穹顶作为光源。实验数据包括人颊细胞和MCF10A细胞的焦点堆栈图像。结果显示，所提出的算法能够准确地恢复样品的复场和光源分布，并在部分相干照明下表现出色。
相位恢复性能
在相干照明下的仿真和实验中，改进的高斯-牛顿法在收敛速度和精度上均优于其他算法。例如，在仿真中，该算法仅需15次迭代即可达到较低的相位误差，而传统的Gerchberg-Saxton算法和梯度下降法则需要数千次迭代。
光源恢复性能
在部分相干照明下的仿真和实验中，所提出的算法能够准确地恢复光源分布。例如，在实验中，算法成功地从焦点堆栈图像中恢复了显微镜的照明光源，并纠正了光源的微小偏移。
联合恢复性能
在联合恢复实验中，算法能够同时恢复样品的复场和光源分布，并在部分相干照明下表现出色。例如，在使用可编程LED穹顶的实验中，算法成功地从复杂的照明模式中恢复了光源和样品的相位。
本研究提出了一种新的非线性优化算法，用于从部分相干照明下的焦点堆栈图像中同时恢复样品的复场和光源分布。该算法基于改进的高斯-牛顿法，并通过实验验证了其在相干和部分相干照明下的优越性能。该研究的科学价值在于提供了一种高效、准确的相位恢复和光源恢复方法，填补了部分相干照明下相位恢复算法的空白。其应用价值广泛，可用于生物显微镜、表面计量学、光刻检测系统和X射线相位成像等领域。
高效的非线性优化算法
所提出的改进高斯-牛顿法在收敛速度和精度上均优于传统算法，特别是在处理大规模非线性优化问题时表现出色。
部分相干照明的处理能力
该算法能够处理部分相干照明，并同时恢复样品的复场和光源分布，填补了该领域的研究空白。
实验验证的广泛性
研究在商业显微镜和可编程LED穹顶上进行了广泛的实验验证，证明了算法的实用性和鲁棒性。
研究团队还提供了算法的源代码和样本数据集，供其他研究人员使用和验证。此外，研究详细讨论了焦点距离的选择对相位恢复和光源恢复的影响，为未来的研究提供了重要参考。