本文介绍了一篇题为《Objective Reduction for Visualising Many-Objective Solution Sets》的学术论文，该论文由Liangli Zhen、Miqing Li、Dezhong Peng和Xin Yao共同撰写，发表于2020年的《Information Sciences》期刊。该研究的主要目标是提出一种基于目标降维的可视化方法（ORV），用于展示多目标优化问题（Many-Objective Optimization Problems, MaOPs）的解集。多目标优化问题涉及多个相互冲突的目标，通常难以在高维目标空间中直接观察解集。因此，该研究旨在通过降维技术将高维解集映射到低维空间，同时尽可能保留解集的分布和Pareto支配关系。

研究背景与动机

多目标优化问题在许多工业和工程应用中广泛存在，尤其是在目标数量超过三个的情况下，传统的优化方法难以有效处理。随着目标数量的增加，解集的可视化变得尤为困难，这给算法设计、性能评估和决策制定带来了挑战。现有的多维数据可视化方法（如平行坐标图、雷达图和热图）虽然可以直接展示解集的目标值，但无法有效展示目标之间的冲突关系和解集的分布信息。因此，研究者提出了一种新的目标降维方法，旨在通过降维技术保留解集的分布和支配关系，从而帮助算法设计者和决策者更好地理解解集的特征。

研究方法与流程

该研究提出的ORV方法通过逐步分解目标向量来实现降维。具体来说，ORV方法首先将目标向量分解为与其正相关的其他目标向量的线性组合，直到达到预期的目标向量数量。该方法将目标降维问题转化为一个可解的凸优化问题，并通过实验验证了其有效性。

1. 目标向量分解：ORV方法通过逐步分解目标向量，将高维目标空间中的解集映射到低维空间。在每一步迭代中，选择与当前目标向量正相关的其他目标向量，并通过凸优化方法求解其线性表示系数。
2. 目标向量移除：在每一步迭代中，选择具有最小表示误差的目标向量进行移除，以减少信息损失。移除的目标向量通过其正相关的目标向量进行更新。
3. 降维过程的可视化：ORV方法通过逐步分解目标向量，使得整个降维过程对研究者透明，帮助其理解目标之间的冲突关系。

实验结果与结论

研究通过合成问题和实际问题的实验验证了ORV方法的有效性。实验结果表明，ORV方法能够有效保留解集的分布和支配关系，并且在处理大规模多目标解集时表现出色。具体来说，ORV方法在DTLZ5、DTLZ7v和ML-DMP等测试问题上均表现良好，能够准确识别并保留解集中的关键目标向量。

1. 合成问题实验：在DTLZ5(3,10)问题上，ORV方法成功识别了三个关键目标向量，并将解集映射到三维空间，保留了Pareto支配关系和分布信息。
2. 实际应用实验：在软件产品线（SPL）选择问题中，ORV方法帮助研究者理解了目标之间的相关性，并为决策者提供了有效的解集可视化结果。

研究的科学价值与应用价值

该研究提出的ORV方法在多目标优化领域具有重要的科学价值和应用价值。首先，ORV方法通过降维技术解决了高维解集可视化的难题，为算法设计者和决策者提供了直观的解集展示工具。其次，ORV方法能够自动识别解集中的关键目标向量，帮助研究者理解目标之间的冲突关系。此外，ORV方法在实际应用中也表现出色，能够有效支持复杂工程问题的决策过程。

研究亮点

1. 新颖的目标降维方法：ORV方法通过逐步分解目标向量，保留了解集的分布和支配关系，具有较高的创新性。
2. 高效的凸优化求解：ORV方法将目标降维问题转化为凸优化问题，能够高效处理大规模解集。
3. 广泛的应用场景：ORV方法不仅适用于合成问题，还能够有效处理实际工程问题，具有广泛的应用前景。

结论

本文提出的ORV方法为多目标优化问题的解集可视化提供了一种有效的解决方案。通过降维技术，ORV方法能够保留解集的分布和支配关系，帮助研究者更好地理解解集的特征。实验结果表明，ORV方法在合成问题和实际问题中均表现出色，具有较高的科学价值和应用价值。未来的研究可以进一步探索非线性目标关系的降维方法，以应对更复杂的优化场景。