本文介绍的研究由余伟伟、张莉、葛宁、贾航和王晖共同完成，分别来自北京航空航天大学计算机学院和南昌工程学院计算机学院。该研究发表在《软件学报》上，题为“maoea/app-pbi: 一种基于自适应投影面与 pbi 函数的高维多目标进化算法”。该研究旨在解决高维多目标优化问题（Many-Objective Optimization Problem, MaOP），这是进化多目标优化领域中的一个重要且具有挑战性的问题。

研究背景与动机

高维多目标优化问题（MaOP）是指目标数量超过三个的优化问题，这类问题在工程实践和科学研究中广泛存在，例如制造业中的柔性作业车间调度、金融业中的风险投资、交通业中的车辆路径规划等。传统的基于Pareto支配关系的多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithms, MOEAs）在处理低维目标优化问题时表现良好，但在高维目标空间中，由于选择压力不足、支配抵触解（Dominance Resistance Solutions, DRSs）的出现以及多样性促进机制（Active Diversity Promotion, ADP）的影响，传统算法的性能显著下降。因此，研究者们致力于开发新的支配关系和筛选方法，以提升高维多目标优化算法的性能。

研究方法与流程

本研究提出了一种基于自适应投影面（Adaptive Projection Plane, APP）的支配关系，并结合基于PBI函数（Penalty-based Boundary Intersection, PBI）的个体筛选方法，设计了一种新的高维多目标进化算法（Many-Objective Evolutionary Algorithm based on Adaptive Projection Plane and PBI function, MAOEA/APP-PBI）。该算法的核心思想是通过自适应投影面来增强种群的收敛性，并通过PBI函数来平衡解群的多样性和收敛性。

1. 自适应投影面支配关系（APP-Dominance）：

   • 该支配关系通过种群中的极端解个体构建自适应投影面，并根据个体到投影面的垂直距离来判断其收敛性。
   • 投影面的大小和位置会随着种群的迭代自适应调整，无需引入额外的参数。
   • 该支配关系不仅增强了种群的收敛性，还通过投影点的拥挤距离来维护种群的多样性。

2. 基于PBI函数的个体筛选方法（ISM-PBI）：

   • PBI函数通过惩罚因子来平衡解个体的收敛性和多样性。
   • 该方法通过计算每个解个体的综合距离（结合投影垂直距离和投影点拥挤距离），选择综合距离最小的个体放入外部档案集，以此保证解群的多样性和收敛性。

3. 算法框架：

   • 将APP支配关系和ISM-PBI方法嵌入到NSGA-II算法框架中，分别替代原有的Pareto支配关系和拥挤距离度量方法。
   • 算法通过非支配排序将种群划分为若干非支配层，并通过ISM-PBI方法筛选个体，最终生成下一代种群。

实验结果与性能对比

为了验证MAOEA/APP-PBI算法的性能，研究者在5、10、15和20目标的DTLZ和WFG基准测试问题上进行了实验，并与六种具有代表性的高维多目标进化算法进行了对比。实验结果表明，MAOEA/APP-PBI算法在反转世代距离（Inverted Generational Distance, IGD）和超体积（Hyper Volume, HV）指标上均表现出显著较优的收敛性和多样性。

研究结论与意义

本研究提出的MAOEA/APP-PBI算法通过引入自适应投影面支配关系和基于PBI函数的个体筛选方法，有效解决了高维多目标优化问题中的收敛性和多样性平衡问题。该算法无需预设参数或偏好信息，且能够随着种群迭代自适应调整，具有较高的实用性和鲁棒性。实验结果表明，MAOEA/APP-PBI算法在高维多目标优化问题中具有显著优势，能够生成具有较好收敛性和多样性的解集。

研究亮点

1. 自适应投影面支配关系：该支配关系无需额外参数，能够随种群迭代自适应调整，显著增强了种群的收敛性。
2. 基于PBI函数的个体筛选方法：通过惩罚因子平衡解个体的收敛性和多样性，有效解决了高维目标空间中的多样性维护问题。
3. 算法框架的创新：将APP支配关系和ISM-PBI方法嵌入到NSGA-II算法框架中，显著提升了高维多目标优化算法的性能。

未来展望

尽管MAOEA/APP-PBI算法在高维多目标优化问题中表现出色，但仍有一些改进空间。例如，未来可以进一步优化自适应投影面的构建方法，或者探索更高效的个体筛选策略。此外，该算法在实际工程问题中的应用效果也值得进一步验证。

总的来说，本研究为高维多目标优化问题提供了一种新的解决方案，具有重要的理论意义和实际应用价值。