本文由Albert Granados撰写，发表于Technical University of Denmark（丹麦技术大学）的应用数学与计算机科学系。该研究得到了欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）的Marie Curie行动项目（REA Grant Agreement No. 609405）以及西班牙Mineco项目（MTM2015-65715-P）的部分资助。研究的主要领域是能量收集系统，特别是基于压电材料的振荡器系统。

研究背景与目标

能量收集系统旨在从机械振动中捕获能量并将其转化为电能。压电材料因其在机械应变下产生电荷的特性而被广泛应用。然而，压电材料的动力学特性受到阻尼和耦合等耗散源的影响，导致系统进入低能量状态，这不利于长期能量收集。为了减少或避免这种情况，作者提出通过耦合两个振荡器，利用Arnold扩散理论来研究Hamiltonian系统中的能量变化，从而提高能量收集效率。

本文的主要目标是研究两个压电梁在弱强迫和电耦合下的动力学行为。通过将耦合、阻尼和强迫视为扰动，作者证明了未扰动系统具有一个4维的常双曲不变流形（normally hyperbolic invariant manifold, NHIM），并研究了其稳定和不稳定流形的参数化及其内部动力学。

研究方法与流程

研究分为以下几个步骤： 1. 模型构建：首先，作者构建了一个广义的Hamiltonian系统模型，考虑了阻尼、耦合和强迫作为扰动。未扰动系统由两个独立的压电梁组成，其动力学行为由Hamiltonian方程描述。 2. 不变流形的存在性：通过理论分析，作者证明了未扰动系统存在一个4维的常双曲不变流形（NHIM），并研究了其在扰动下的持久性。该流形具有5维的稳定流形和4维的不稳定流形。 3. 参数化方法：作者采用参数化方法（parameterization method）对扰动后的流形及其稳定和不稳定流形进行数值计算。该方法通过Newton-like迭代算法，逐步修正流形的参数化及其内部动力学。 4. 数值计算：作者使用数值方法计算了不同阻尼和耦合条件下的流形及其动力学行为。通过数值模拟，作者展示了扰动下同宿连接（homoclinic connections）的存在性。

主要结果

1. 未扰动系统的流形：未扰动系统存在一个4维的常双曲不变流形，其稳定和不稳定流形在扰动下保持局部唯一性。
2. 扰动后的流形：通过参数化方法，作者数值计算了扰动后的流形及其稳定和不稳定流形，并研究了其内部动力学。结果表明，扰动下存在同宿连接。
3. 能量收集效率：研究表明，通过引入保守耦合（如弹簧），可以增加系统的能量收集效率，特别是在弱阻尼和保守耦合的情况下，系统表现出较高的能量吸收能力。

结论与意义

本文通过理论分析和数值模拟，首次研究了基于阻尼振荡器的能量收集系统中的Arnold扩散现象。研究结果表明，通过耦合两个压电梁并引入保守耦合，可以有效提高系统的能量收集效率。此外，本文提出的参数化方法为研究高维系统中的不变流形及其动力学行为提供了新的工具。

研究亮点

1. 新颖的研究方法：本文首次将Arnold扩散理论应用于能量收集系统，提出了通过耦合振荡器来提高能量收集效率的新思路。
2. 数值计算的创新：作者开发了一种基于参数化方法的Newton-like迭代算法，能够高效地计算高维系统中的不变流形及其动力学行为。
3. 应用价值：研究结果为设计高效的能量收集系统提供了理论支持，特别是在弱阻尼和保守耦合条件下，系统表现出较高的能量吸收能力。

其他有价值的内容

本文还详细讨论了不同阻尼和耦合条件下系统的动力学行为，特别是弱阻尼和保守耦合对系统能量吸收的影响。此外，作者还提出了未来研究的方向，包括进一步研究同宿连接和散射映射（scattering map）在能量收集系统中的应用。

总之，本文通过理论分析和数值模拟，为基于压电材料的能量收集系统提供了新的研究思路和方法，具有重要的科学和应用价值。