本文由Yu-Hau Tseng和Ming-Chih Lai等人撰写，分别来自台湾国立高雄大学应用数学系和台湾国立阳明交通大学应用数学系。该研究发表于《Annals of Applied Mathematics》期刊，具体发表日期为202x年。研究的主要目标是解决具有不连续粘度和奇异力的Stokes界面问题，提出了一种基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的新方法，能够捕捉界面上的不连续性和尖点行为。

研究背景

不可压缩两相流问题在科学和工程领域有广泛的应用，例如流体力学、生物医学工程等。这类问题通常涉及求解具有不连续粘度和界面奇异力（如表面张力）的Stokes方程。由于压力和速度在界面上存在不连续性，传统的数值方法在处理这类问题时面临诸多挑战。特别是，压力和速度的导数在界面上不连续，导致数值离散化时需要特别小心。为了应对这些挑战，研究者提出了多种方法，如浸入边界法（Immersed Boundary Method, IB）和浸入界面法（Immersed Interface Method, IIM）。然而，这些方法在处理复杂界面时仍然存在精度和计算效率上的限制。

研究方法

本文提出了一种基于物理信息神经网络（PINN）的新方法，通过两个子网络分别逼近压力和速度。具体来说，压力子网络使用指示函数作为增强输入来捕捉函数的不连续性，而速度子网络使用尖点增强的水平集函数来捕捉导数的不连续性。该方法的核心思想是将不连续函数表示为高维连续神经网络函数，从而避免传统方法中复杂的界面处理。

研究的主要步骤如下： 1. 问题建模：首先，研究者将Stokes方程在不连续粘度和奇异力的条件下进行重新表述，将奇异力的影响替换为界面上的牵引平衡方程。 2. 神经网络设计：设计了一个包含两个子网络的神经网络结构，分别用于逼近压力和速度。压力子网络使用指示函数作为增强输入，速度子网络使用尖点增强的水平集函数。 3. 数值实验：通过一系列数值实验，验证了该方法在二维和三维Stokes界面问题中的有效性，并与现有的浸入界面法进行了精度比较。

主要结果

研究结果表明，即使使用较浅的神经网络和适量的训练数据点，该方法也能达到与浸入界面法相当的预测精度。具体来说，在二维和三维Stokes界面问题的数值实验中，该方法在压力和速度的预测上表现出较高的精度，尤其是在处理高粘度对比问题时，表现尤为突出。此外，该方法在处理复杂界面时具有显著优势，能够轻松应对传统网格方法难以处理的几何形状。

结论

本文提出的基于物理信息神经网络的方法为解决具有不连续粘度和奇异力的Stokes界面问题提供了一种新的思路。该方法不仅具有较高的计算精度，而且在处理复杂界面时表现出较强的灵活性。与传统的网格方法相比，该方法无需复杂的界面离散化处理，大大简化了计算过程。未来的研究可以进一步将该方法应用于实际的两相流问题中，验证其在更复杂场景下的适用性。

研究亮点

1. 创新性方法：本文首次提出了基于物理信息神经网络的Stokes界面问题求解方法，能够有效捕捉界面上的不连续性和尖点行为。
2. 高精度预测：即使使用较浅的神经网络，该方法也能达到与传统浸入界面法相当的预测精度。
3. 灵活性：该方法在处理复杂界面时表现出较强的灵活性，能够轻松应对传统网格方法难以处理的几何形状。

其他有价值的内容

本文还详细讨论了神经网络的结构设计、训练过程以及数值实验的具体设置，为后续研究者提供了宝贵的参考。此外，研究者还公开了代码，便于其他研究者复现和验证实验结果。

总的来说，本文为解决Stokes界面问题提供了一种高效、灵活的新方法，具有重要的理论价值和实际应用前景。