本文介绍了一项由台湾中央大学数学系的胡一凡（Ei-Fan Hu）、施宜君（Yi-Jun Shih）、林德胜（Te-Sheng Lin）和赖明志（Ming-Chih Lai）共同完成的研究，该研究于2024年发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》期刊上。研究的主要目标是开发一种浅层物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN），用于求解静态和动态曲面上的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。这一研究在科学计算领域具有重要意义，因为曲面上的PDEs在表面活性剂建模、生物膜动力学、图像处理和计算机图形学等多个领域中都有广泛应用。
曲面上的偏微分方程（PDEs）是科学和工程中常见的数学模型，通常用于描述在曲面上发生的物理现象。然而，由于曲面几何的复杂性，传统的数值方法在求解这些方程时面临诸多挑战。例如，有限元法（Finite Element Method, FEM）和样条方法（Spline-based Methods）在处理复杂曲面时，往往需要大量的计算资源，并且对网格质量高度敏感。此外，嵌入技术（Embedding Techniques）虽然避免了曲面参数化的困难，但在实际应用中仍然存在边界条件不明确和计算复杂度高的问题。
近年来，物理信息神经网络（PINN）作为一种新兴的数值方法，逐渐被应用于求解PDEs。然而，现有的PINN方法在处理曲面上的PDEs时，通常需要施加法向扩展约束，这限制了其应用范围。本文提出了一种新的浅层PINN方法，通过将曲面微分算子表示为传统的笛卡尔微分算子，直接在损失函数中使用这些算子，从而避免了法向扩展约束的引入。这一方法不仅简化了模型结构，还显著提高了计算效率。
本文的研究方法主要包括以下几个步骤：
静态曲面上的PDE求解：首先，研究团队开发了一种浅层神经网络模型，用于求解静态曲面上的PDEs。通过引入水平集函数（Level Set Function），曲面的法向量和平均曲率可以方便地计算出来。研究团队将曲面微分算子表示为传统的笛卡尔微分算子，并将其直接用于损失函数中。通过这种方法，研究团队成功求解了拉普拉斯-贝尔特拉米方程（Laplace-Beltrami Equation）和表面扩散方程（Surface Diffusion Equation），并在复杂的静态曲面上进行了性能测试。
动态曲面上的PDE求解：随后，研究团队将这一方法扩展到动态曲面上的PDE求解。为了跟踪变形曲面，研究团队引入了一个额外的网络层，用于强制曲面的拓扑结构，并学习曲面与给定拓扑之间的同胚映射。通过这种方法，研究团队成功求解了具有给定速度的平流-扩散方程（Advection-Diffusion Equation），并获得了与静态情况相当的数值精度。
数值实验与结果分析：研究团队通过一系列数值实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，即使在隐藏层中使用较少的神经元，该方法也能获得令人满意的预测结果。此外，研究团队还通过模拟剪切流下液滴表面上的表面活性剂输运，展示了该方法在实际应用中的潜力。
研究团队通过数值实验验证了所提出方法的有效性。具体结果如下：
静态曲面上的PDE求解：在静态曲面上，研究团队求解了拉普拉斯-贝尔特拉米方程和表面扩散方程。实验结果表明，即使在隐藏层中使用较少的神经元，该方法也能获得高精度的预测结果。例如，在求解拉普拉斯-贝尔特拉米方程时，相对L2误差达到了10^-6量级。
动态曲面上的PDE求解：在动态曲面上，研究团队求解了平流-扩散方程。实验结果表明，该方法能够同时跟踪曲面变形并求解方程，且数值精度与静态情况相当。例如，在求解平流-扩散方程时，相对L2误差达到了10^-5量级。
实际应用：研究团队通过模拟剪切流下液滴表面上的表面活性剂输运，展示了该方法在实际应用中的潜力。实验结果表明，该方法能够准确预测表面活性剂在液滴表面上的分布，且计算效率较高。
本文提出了一种新的浅层物理信息神经网络方法，用于求解静态和动态曲面上的偏微分方程。该方法通过将曲面微分算子表示为传统的笛卡尔微分算子，直接在损失函数中使用这些算子，从而避免了法向扩展约束的引入。实验结果表明，即使在隐藏层中使用较少的神经元，该方法也能获得高精度的预测结果。此外，该方法在实际应用中展示了良好的潜力，特别是在表面活性剂输运模拟中。
本文的研究成果不仅为曲面上的PDE求解提供了一种新的数值方法，还为物理信息神经网络在科学计算中的应用开辟了新的方向。未来的研究可以进一步探索该方法在更复杂曲面和非光滑解情况下的应用，并与传统的径向基函数方法进行性能比较。
总的来说，本文的研究为曲面上的PDE求解提供了一种高效、准确的数值方法，具有重要的科学和工程应用价值。