本文介绍了一项由Yu-Hau Tseng、Te-Sheng Lin、Wei-Fan Hu和Ming-Chih Lai等研究人员共同完成的研究，题为《A Cusp-Capturing PINN for Elliptic Interface Problems》，发表于2023年的《Journal of Computational Physics》期刊。该研究提出了一种基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的新方法，用于解决具有不连续系数的椭圆界面问题。这类问题的解在界面上是连续的，但其一阶导数在界面上不连续。
椭圆界面问题在流体动力学、工程学、地球物理学和生物医学等领域具有广泛的应用。例如，液滴碰撞、红细胞在动脉中的流动以及带电流体中胶体颗粒的电泳运动等问题都涉及流体流动、可变形界面及其背后的复杂机制。由于不同子区域的物理参数（如粘度或密度）可能不同，导致解在界面上的正则性降低，因此需要额外的处理来精确模拟这些问题。传统的数值方法如浸入边界法（Immersed Boundary Method, IB）和浸入界面法（Immersed Interface Method, IIM）虽然能够处理这些问题，但其精度和计算效率仍有待提高。
本文提出了一种基于物理信息神经网络的“尖点捕捉”方法，通过引入一个尖点增强的水平集函数作为神经网络的额外输入，来捕捉解在界面上的导数不连续性。具体来说，该方法通过以下步骤实现： 1. 问题建模：研究了一个d维不连续系数的二阶椭圆界面问题，定义在区域Ω内，界面Γ将Ω分为两个子区域Ω−和Ω+。问题的方程包括界面条件和边界条件。 2. 神经网络设计：设计了一个尖点捕捉的物理信息神经网络，通过引入尖点增强的水平集函数φa(x) = |φ(x)|作为网络的额外输入，使得网络能够捕捉解在界面上的导数不连续性。 3. 损失函数定义：损失函数包括微分方程的残差、界面条件和边界条件的均方误差。通过优化损失函数来训练网络，使其能够同时满足微分方程、界面条件和边界条件。 4. 数值实验：通过一系列数值实验验证了尖点捕捉技术的有效性和网络模型的准确性。实验结果表明，即使使用单隐层的浅层网络，也能达到与传统方法相当的预测精度。
研究通过多个数值实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明： 1. 尖点捕捉能力：在界面上的导数不连续性被精确捕捉，即使使用单隐层的浅层网络，也能达到较高的预测精度。 2. 与传统方法的比较：所提出的网络模型在精度上与传统网格方法（如浸入界面法）相当，甚至在处理高对比度系数问题时表现更优。 3. 高维问题处理：该方法能够有效处理高维椭圆界面问题，展示了其在复杂几何和界面问题中的潜力。
本文提出的尖点捕捉物理信息神经网络能够有效解决具有不连续系数的椭圆界面问题。通过引入尖点增强的水平集函数，网络能够精确捕捉解在界面上的导数不连续性。该方法具有无网格的优势，能够轻松处理不规则域和复杂界面问题。未来，该方法可以扩展到时间依赖的不连续系数界面问题，并应用于传统网格方法难以处理的实际问题中。
该研究为处理具有不连续系数的椭圆界面问题提供了一种新的数值方法，具有较高的科学和应用价值。特别是在处理复杂几何和界面问题时，该方法展示了其独特的优势，为未来的研究和应用提供了新的思路。