本文介绍了一篇发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》期刊上的研究论文，题为《The Random Feature Method for Solving Interface Problems》。该研究由中国科学技术大学的Xurong Chi、Jingrun Chen和Zhouwang Yang等人合作完成，于2023年12月27日在线发表。论文提出了一种基于随机特征方法（Random Feature Method, RFM）的新方法，用于解决界面问题（interface problems），特别是在复杂几何和预定义演化条件下的界面问题。

研究背景与动机

界面问题在科学计算中具有重要地位，广泛存在于复合材料、多相流和晶体生长等领域。这类问题通常涉及将整个域划分为多个子域，子域之间通过界面条件耦合，解可能表现出非光滑甚至不连续的行为。传统的基于网格的方法（如体拟合网格和非拟合网格）在处理复杂几何时往往耗时且难以实现高精度收敛。而无网格方法虽然避免了网格生成，但由于解的低正则性，通常在收敛性和精度上缺乏鲁棒性。因此，本文提出了一种新的无网格方法，旨在克服这些挑战。

研究方法与流程

本文提出的方法基于随机特征方法（RFM），通过结合分区统一（Partition of Unity, POU）函数和随机特征函数来构建近似解，并通过求解线性最小二乘系统来获得近似解。该方法在界面问题中引入了两个创新点： 1. 双随机特征函数：在界面的每一侧使用两组随机特征函数，以捕捉解的低正则性或不连续性。 2. 损失函数构建：基于偏微分方程（PDE）、初始/边界条件和界面条件在配点上的评估来构建损失函数，确保这些条件得到同等满足。

研究流程包括以下几个步骤： 1. 界面问题建模：定义了界面问题的数学模型，包括子域、界面条件以及边界条件。 2. 近似空间构建：通过随机特征函数和POU函数构建近似解空间，捕捉界面附近的局部变化。 3. 损失函数设计：基于PDE、界面条件和边界条件在配点上的评估，设计损失函数，确保解的精度和收敛性。 4. 优化过程：通过线性最小二乘优化方法求解近似解，确保解的全局最优性。

主要结果

本文通过一系列数值实验验证了所提出方法的有效性，包括二维椭圆界面问题、三维Stokes界面问题、三维弹性界面问题、具有拓扑变化的移动界面问题、大变形动态界面问题以及复杂几何的线性流固耦合问题。实验结果表明： - 高精度：尽管解通常仅连续甚至不连续，本文方法不仅避免了网格生成，还能保持与光滑解的谱配方法相当的高精度。 - 低自由度：与传统方法相比，本文方法在相同精度要求下所需的自由度减少了2到3个数量级。 - 鲁棒性：在处理复杂几何和预定义演化问题时，本文方法表现出良好的鲁棒性。

结论与意义

本文提出的方法有效解决了传统方法在处理界面问题时面临的网格生成难题。通过引入双随机特征函数和基于配点的损失函数设计，本文方法在处理复杂几何和预定义演化问题时表现出显著优势。该方法不仅具有较高的科学价值，还为工程应用中的界面问题提供了新的解决方案。

研究亮点

1. 创新性方法：本文首次将随机特征方法应用于界面问题，提出了双随机特征函数和基于配点的损失函数设计，显著提高了方法的精度和鲁棒性。
2. 广泛适用性：本文方法适用于多种类型的界面问题，包括静态和动态问题、复杂几何和大变形问题。
3. 高效性：与传统方法相比，本文方法在相同精度下所需的自由度显著减少，计算效率大幅提升。

其他有价值的内容

本文还详细讨论了方法的实现细节，包括随机特征函数的选择、配点生成策略以及优化算法的选择。此外，本文提供了丰富的数值实验结果，展示了方法在不同类型界面问题中的表现，并与现有方法进行了对比，进一步验证了方法的优越性。

总之，本文提出的随机特征方法为界面问题的求解提供了一种高效、精确且鲁棒的新途径，具有重要的理论和应用价值。