本文介绍了一项关于低复杂度几何整形（low-complexity geometric shaping）的研究，该研究由Ali Mirani、Erik Agrell和Magnus Karlsson共同完成，发表在2021年的《Journal of Lightwave Technology》期刊上。研究的主要目标是解决通过几何整形接近香农容量（Shannon’s capacity）时面临的调制和解调复杂度问题，特别是在高维欧几里得空间中的基于格点（lattice-based）的几何整形调制格式。
随着光纤通信系统对更高信息吞吐量的需求不断增加，调制格式的优化成为了一个重要的研究领域。传统的调制格式如正交幅度调制（Quadrature Amplitude Modulation, QAM）虽然能够提高传输速率，但在高阶调制格式下，信号功率需求增加，而光纤链路的传输功率受到非线性效应的限制。因此，研究者们提出了两种调制整形方法：概率整形（probabilistic shaping）和几何整形（geometric shaping）。概率整形通过在低维星座上使用非均匀分布来提高能量效率，而几何整形则通过设计非矩形、多维的星座来实现更高的传输效率。
几何整形的优势在于它能够通过多维调制格式获得编码增益（coding gain）和整形增益（shaping gain）。编码增益来自于在更高维空间中更密集地排列星座点，而整形增益则通过使星座边界更接近超球面来实现。然而，几何整形的调制和解调复杂度较高，通常需要查找表来存储星座点和比特标签。本文的研究旨在通过开发低复杂度的调制和解调算法，使得即使在高星座点数（如超过10^28个点）的情况下，几何整形调制格式也能实用化。
本文的研究流程主要包括以下几个步骤：
格点理论与星座设计：首先，研究者介绍了格点理论的基础知识，包括格点的数学定义、生成矩阵以及如何从无限格点中选取有限星座点。通过Voronoi切割（Voronoi cut），研究者设计了一种基于格点的有限星座，称为Voronoi星座（Voronoi Constellation, VC）。Voronoi星座通过选择位于稀疏格点的Voronoi区域内的格点来构建，从而实现了低复杂度的调制和解调。
调制与解调算法：研究者提出了低复杂度的调制和解调算法。调制算法通过将比特映射到星座点的索引，并利用格点的代数结构生成星座点，避免了传统几何整形中需要存储大量星座点的问题。解调算法则通过接收到的信号点找到最近的格点，并通过模运算将其映射回星座区域。这些算法的核心是最接近点算法（Closest Point Algorithm, CPA），该算法能够在高维空间中快速找到最近的格点。
性能评估：研究者通过数值模拟比较了不同维度（如2维、4维、8维和24维）的Voronoi星座与传统QAM格式在加性高斯白噪声（AWGN）和非线性光纤信道中的性能。结果表明，Voronoi星座在高信噪比（SNR）下表现出色，特别是在高维空间中，其渐近功率效率（asymptotic power efficiency）显著优于QAM格式。
AWGN信道中的性能：在AWGN信道中，Voronoi星座在高SNR下的误码率（BER）性能优于传统QAM格式。特别是在24维的Leech格点（λ24）中，Voronoi星座的渐近功率效率显著高于QAM格式。此外，研究者还比较了自然二进制（natural binary）和准格雷（quasi-gray）比特标签的性能，发现准格雷标签在高阶调制格式下表现更好。
非线性光纤信道中的性能：在非线性光纤信道中，Voronoi星座表现出更强的抗非线性效应能力。通过仿真，研究者在80个80公里的光纤跨度中，使用6个波长传输24维信号，发现Voronoi星座在BER为2.26×10^-4时的传输功率增益超过3 dB，传输距离提升了38%。
本文的研究表明，基于格点的几何整形调制格式在光纤通信系统中具有显著的优势。通过低复杂度的调制和解调算法，Voronoi星座能够在不增加系统复杂度的前提下，显著提高传输效率和抗非线性效应的能力。与传统的概率整形相比，几何整形在高维空间中能够提供更高的增益，特别是在高SNR和非线性信道中表现出色。
未来的研究可以进一步比较几何整形与概率整形的性能，特别是在不同信道条件下的表现。此外，结合硬判决前向纠错码（hard-decision forward error correction codes）的Voronoi星座在低延迟和低功耗应用中的潜力也值得进一步探索。
本研究得到了Knut and Alice Wallenberg基金会以及瑞典研究委员会（VR）的资助，计算资源由瑞典国家计算基础设施（SNIC）提供。