本文由Jan Behrends、Florian Venn和Benjamin Béri共同撰写，分别来自剑桥大学卡文迪许实验室的T.C.M.组和剑桥大学应用数学与理论物理系（DAMTP）。该研究于2024年2月2日发表在《Physical Review Research》期刊上，题为《Surface Codes, Quantum Circuits, and Entanglement Phases》。

研究背景

量子纠错码（Quantum Error Correction, QEC）和量子多体动力学中的纠缠相（Entanglement Phases）是量子信息科学中的两个重要概念。表面码（Surface Codes）是量子纠错码中的主要候选方案，而纠缠相则是描述多体量子系统动力学中的关键概念。尽管这两个领域在量子计算中都具有重要地位，但它们之间的联系此前尚未被明确建立。本文通过将二维表面码映射到一维自由费米子量子电路，首次建立了表面码的纠错相与纠缠相之间的联系。

研究目标

本研究的主要目标是揭示表面码在相干和非相干误差下的纠错相与一维量子电路的纠缠相之间的关系。具体来说，研究者通过将表面码映射到随机键伊辛模型（Random-Bond Ising Model, RBIM），并进一步将其转移矩阵解释为量子电路，从而将表面码的纠错相嵌入到量子电路的纠缠相中。

研究方法

研究分为以下几个步骤： 1. 表面码到伊辛模型的映射：研究者首先将二维表面码映射到二维随机键伊辛模型。对于非相干误差（如比特翻转），伊辛模型的耦合常数是实数；而对于相干误差（如单轴旋转），耦合常数是复数。 2. 伊辛模型到量子电路的映射：通过将伊辛模型的转移矩阵解释为量子电路，研究者构建了一维自由费米子量子电路。这些电路由交替的实时间和虚时间演化组成，最终收敛到一个长时间的一维态。 3. 纠缠相的分析：研究者通过分析量子电路的长时间态，揭示了纠缠相与表面码纠错相之间的关系。具体来说，纠错相对应于一维拓扑非平凡的纠缠相，而超过纠错阈值的相则对应于拓扑平凡的纠缠相或对数纠缠相。

主要结果

1. 纠错相与拓扑非平凡纠缠相的关系：研究发现，表面码的纠错相对应于一维量子电路的拓扑非平凡纠缠相，表现为纠缠谱中的零模和拓扑不变量。
2. 超过纠错阈值的相：对于非相干误差，超过纠错阈值的相表现为拓扑平凡的纠缠相，纠缠熵不随系统尺寸增加。而对于相干误差，超过纠错阈值的相表现为对数纠缠相，纠缠熵随系统尺寸对数增长。
3. 网络模型与纠缠相的联系：研究者还通过将伊辛模型映射到二维散射网络，进一步揭示了纠缠相与网络模型的绝缘相和金属相之间的联系。

结论与意义

本研究首次建立了表面码的纠错相与量子电路的纠缠相之间的联系，揭示了纠错相与拓扑非平凡纠缠相之间的对偶性。这一发现不仅为理解量子纠错码的动力学提供了新的视角，还为研究混合量子电路中的纠缠相变提供了新的工具。此外，研究者提出的方法可以推广到其他自由费米子量子电路，具有独立的理论价值。

研究亮点

1. 新颖的对偶性：本研究首次揭示了表面码的纠错相与一维量子电路的纠缠相之间的对偶性，为量子纠错和纠缠相的研究开辟了新的方向。
2. 混合量子电路的物理动机：通过将表面码的相干误差映射到混合量子电路，研究者为交替实时间和虚时间演化的量子电路提供了具体的物理动机。
3. 纠缠相的拓扑特征：研究者通过拓扑不变量和纠缠谱中的零模，明确刻画了纠缠相的拓扑特征，为理解纠缠相的拓扑起源提供了新的视角。

未来展望

研究者指出，他们的方法可以推广到更高维的拓扑码和纠缠相之间的对偶性，并有望用于评估不同误差模型下的码性能。此外，通过将误差损坏的码映射到低维系统的长时间动力学，研究者预期这一方法可以进一步推广到其他拓扑有序态的边界相变研究中。

总结

本文通过将表面码映射到伊辛模型和量子电路，首次建立了量子纠错码的纠错相与量子电路的纠缠相之间的联系。这一研究不仅为量子纠错和纠缠相的研究提供了新的视角，还为混合量子电路中的纠缠相变提供了新的理论工具。