本文档属于类型a，即报告了一项原创研究。以下是基于文档内容生成的学术报告：
研究作者及机构
本研究由张思龙（Zhang Si-long）完成，其所属机构为上海交通大学中美物流研究院（Sino-US Global Logistics Institute, Shanghai Jiao Tong University）。研究发表于2019年第41卷第12期的《物流工程与管理》（Logistics Engineering and Management）期刊，文章编号为1674-4993(2019)12-0086-03。
学术背景
本研究属于组合优化领域，具体聚焦于含优先级约束的旅行商问题（Traveling Salesman Problem with Precedence Constraints, TSP-PC）。旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是经典的组合优化问题，目标是找到一条经过图中所有节点且仅经过一次的最短路径。然而，在实际应用中，路径通常需要满足优先级约束，即某些节点必须在其他节点之前被访问。这种含优先级约束的TSP问题在物流服务、交通运输和生产制造等领域中广泛存在，其高效求解方法有助于降低操作成本并提升服务效率。尽管已有许多学者对TSP问题进行了研究，但由于TSP-PC属于NP难问题，求解大规模问题的精确解仍然具有挑战性。因此，本研究旨在建立TSP-PC的数学模型并设计高效的动态规划精确算法，以解决这一问题。
研究流程
本研究分为三个主要步骤：问题描述与数学模型建立、求解算法设计以及数值实验验证。
问题描述与数学模型建立
研究首先对TSP-PC问题进行了详细描述。在一个图G=(V,E)中，V表示节点集合，E表示弧集合，每条弧e_ij的长度为d_ij。TSP-PC的目标是找到一条满足以下条件的最短路径：(1) 路径经过所有节点且仅经过一次；(2) 优先级较高的节点必须先于优先级较低的节点被访问。为了精确描述问题，研究建立了整数线性规划模型。模型的目标函数是最小化路径长度，约束条件包括流平衡约束（确保每个节点的入度和出度均为1）、子回路消除约束以及优先级约束。模型中的决策变量包括二元变量x_ij（表示路径是否经过弧e_ij）和整数变量y_i（表示节点i在路径中的访问顺序）。
求解算法设计
由于TSP-PC属于NP难问题，直接使用求解器求解模型效率较低。因此，研究设计了一种动态规划精确算法。算法首先通过get_pc算法计算每个节点的后序集、先序集和无序集，以全面描述优先级关系。随后，算法定义了状态表示方法，其中状态s={h,i}表示一类路径，其访问过的节点集合为w(h)，且最后访问的节点为i。算法的核心是状态转移方程，通过逐步递推最优子结构来求解问题。算法的边界条件为f(∅)=0，r(∅)=∅。最终，算法通过动态规划逐步求解，输出最优路径及其长度。
数值实验验证
为了验证算法的效率，研究进行了数值实验。实验使用C++编写的程序，在酷睿四核i7-7700HQ（2.80GHz）和16GB内存的计算机上求解了15个不同规模的随机算例。实验结果表明，当k值（表示优先级相等的节点数量的上限）较小时，算法能够在数秒内求解最优解；即使n=100且k=15时，最优解也能在6分钟内求得。此外，实验还发现，k值对算法复杂度的影响远大于节点总数n值的影响。
主要结果
研究的主要结果包括： 1. 成功建立了TSP-PC的整数线性规划模型，为问题的精确描述提供了数学基础。 2. 设计了一种高效的动态规划精确算法，能够快速求解不同规模的TSP-PC问题。 3. 数值实验验证了算法的高效性，表明算法能够处理多达100个节点的复杂问题。
结论与意义
本研究通过建立数学模型和设计动态规划算法，有效解决了含优先级约束的旅行商问题。研究成果在理论上丰富了组合优化领域的研究内容，为TSP-PC问题的求解提供了新的方法。在应用层面，该算法可广泛应用于物流服务、交通运输和生产制造等领域，有助于降低操作成本并提升服务效率。此外，研究还指出，未来的研究方向可以包括寻找更好的上下界以减少动态规划过程中的状态数量，从而进一步加快求解速度。
研究亮点
本研究的亮点包括： 1. 提出了TSP-PC问题的整数线性规划模型，为问题的精确描述提供了数学工具。 2. 设计了一种高效的动态规划精确算法，能够快速求解不同规模的TSP-PC问题。 3. 通过数值实验验证了算法的高效性，表明其在实际应用中的潜力。
其他有价值的内容
研究还提供了详细的优先级关系计算方法（get_pc算法）以及状态表示方法，这些内容为其他研究者提供了有价值的参考。此外，研究还分析了k值和n值对算法复杂度的影响，为后续研究提供了重要的理论依据。
以上为本研究的全面报告。