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研究作者及发表情况
本文由E. M. Shakhov撰写，研究发表在期刊《Izv. AN SSSR. Mekhanika Zhidkosti i Gaza》（《流体动力学》）1968年第3卷第5期，页码为142-145。

研究背景和研究目的
本文属于稀薄气体动力学领域，研究针对Boltzmann方程的简化模型展开，特别是集中研究被广泛应用的Krook模型。稀薄气体动力学在过去20年的研究中取得了一些重要成果，而Krook模型作为Boltzmann方程的简化形式，是其中最具代表性和应用广泛的一个。Krook模型的松弛方程在描述气体自由分子运动和统计平均分子碰撞特性方面保留了Boltzmann方程的基本性质，并通过简单的结构形式反映了碰撞过程的自然现象。

然而，早期针对Krook模型的定量研究表明，该模型的结果在很多情况下与Boltzmann方程的准确解产生显著偏差，例如在Prandtl数的值上。Krook模型推导的Prandtl数固定为1，而单原子气体的真实值为2/3。为了克服这种理论上的局限性，前人如Holway提出了其他基于最大概率原理的模型，以改进松弛方程在描述应力张量和热流矢量时的表现。但这些方法仍存在不足。因此，本文的研究目标是提出一种构造模型方程的新方法，通过改进Boltzmann方程的近似描述，获得更准确的Prandtl数并提升定量计算结果的精度。

研究流程与方法
本研究将Boltzmann方程的伪麦克斯韦分子（pseudo-Maxwellian molecules）条件作为研究引入，并结合作者在先前研究中提出的方法，搭建了一系列改良的近似模型方程。以下是研究的细化流程和关键细节：

1. 方程初始建模 研究从经典Boltzmann方程入手，假设无外力存在的情况下，其基本表达式为方程(1.1)。为了将问题简化，研究引入了伪麦克斯韦分子的假设条件，即碰撞频率与相对分子速度无关。进一步地，构建了一个更简单的近似方程(1.2)，其中$f^+$的特性被假设与热速度和宏观参数存在函数依赖关系。

研究将此(1.2)方程定义为Boltzmann方程的“近似方程”，假设它们的第一时刻（moment）条件一致，即满足特定的积分条件(1.3)。进一步地，研究给出了具体的解构逻辑，例如在方程中结合系数用于匹配条件需求。

1. 分级近似模型发展 研究提出了一种系统化地改良模型的方法，即通过Hermite多项式展开来表述分布函数$f^+$。公式(1.4)定义了$f^+$的形式：一个局部麦克斯韦分布函数加上相关速度和宏观参数的多项式展开。通过限制展开项数，形成不同近似阶次的特定形式，例如二阶近似（对应Krook模型）和三阶近似方程。

在这种分层展开过程中，模型参数的具体解法通过约束条件(1.3)确定。例如，在第二阶展开下，模型恢复经典的Krook模型，而在第三阶展开时，$f^+$被表述为卷积Hermite多项式，并进一步发展成为“13-moment approximation（13时刻近似）”。

1. 特定问题的理论分析 研究还探讨了分碰撞积分（reverse collision integral）的可行性假设，即该积分可以通过Hermite多项式展开来表示。这一假设的物理合理性在于这种积分仅描述了在碰撞点经历碰撞分子的速度分布，因此局部麦克斯韦形式作为展开主项是自然的。

此外，研究分析了近似方程在平衡解条件下的表现，指出在大多数情况下$f$的负值区域（若存在）仅限于高分子速度的边缘区域，影响有限。

研究主要结果

1. Krook模型的验证与改良
   本文推导和验证了经典的Krook模型，并指出其二阶时刻近似的合理性，但也表明它很难精确描述热流和Prandtl数。在将研究拓展到三阶时刻近似后，13-moment approximation提供了通过正确热流导出Prandtl数的可能性（Pr = 2/3），这一方法的改进显著增强了模型描述稀薄气体动力学的能力。

2. 方程综合性与拓展性
   研究说明了这一构造方法可以系统化地扩展，通过增加Hermite多项式的阶次和时刻约束条件，不断逼近Boltzmann方程的精确解。此外，提出的模型避免了存储分布函数的需求，为数值求解提供了重要的简化优势。

3. 理论分析验证了平衡解的唯一性
   在近似方程平衡解条件下，通过13时刻约束条件分析表明，麦克斯韦分布是唯一可能的平衡解形式，这为模型的物理合理性提供了进一步支撑。

研究总结与意义

本研究通过构造系列基于Boltzmann方程的近似模型方程，为稀薄气体动力学提供了一种新思路，特别是改进了经典Krook模型在描述流体热传导和应力张量时的局限性。研究提出的方法使得数学模型更接近物理现实，尤其是在Prandtl数的准确性方面。论文不仅在理论上发展了这一领域，还为数值计算与模型求解提供了较好的实践指导。这些进展对于稀薄气体及相关领域（如航空航天、微流体力学）均有重要理论和应用价值。

本研究的亮点在于其模型构造流程的系统性和数学表达的自然性，同时结合了经典和现代理论方法，是对Krook模型的重要补充和延伸。实验性的三阶近似扩展即13-moment approximation，展现了构造复杂气体动力学模型的潜力和方向，为进一步研究奠定基础。