本报告基于一篇关于数字高程模型（Digital Elevation Model，DEM）精度评估的新框架研究的学术文章，题为《accuracy assessment of digital elevation models based on approximation theory》，由 Peng Hu、Xiaohang Liu 和 Hai Hu 撰写，作者分别隶属于武汉大学资源与环境学院和 San Francisco State University 的地理与人类环境研究系。该文章发表于《Photogrammetric Engineering & Remote Sensing》杂志，期刊号为 Vol. 75, No. 1, January 2009，页码 49–56。
数字高程模型（DEM）是地形表面数字化的表现形式，广泛应用于地形分析、水文建模与能量流研究等领域。从上世纪50年代开始，该领域的研究已有较大的发展，但DEM精度评估的理论始终存在争议。现有的DEM误差评估方法主要基于误差传播理论（Error Propagation Theory），如误差方差与均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE），但该理论假设误差随机且相互独立，与大量实证研究中观察到的误差与地形形态、采样密度存在相关性的现象不符。因此，需要开发新理论框架来弥补现有方法的不足。
本文提出了一种基于近似理论（Approximation Theory）的新框架，将DEM生成视为未知地形的分段多项式模拟。基于这一框架，论文旨在揭示DEM误差与地形形态、源数据密度及插值方法之间的理论联系，从而为DEM误差的分类及分析提供新思路。
本研究围绕DEM误差的构成、分析及评估展开，以下为研究的流程及各部分内容的详细说明：
1. 提出问题与理论回顾 - 本文首先讨论了DEM误差的两大组成部分：插值误差（Interpolation Error）和传播误差（Propagation Error）。
插值误差来源于插值函数的不完备性，与源数据无关；传播误差则源于数据测量中的随机误差，并通过插值函数传递至DEM点。
DEM总误差可表示为插值误差与传播误差之和，即： [ \Delta z_t = r_t + d_t ] 这里$r_t$是插值误差，$d_t$是传播误差。
2. 插值误差与传播误差的数学推导 为了分析误差特性，作者选择了三种常用的线性多项式插值方法，分别是：
- 一维线性插值（Linear Interpolation in 1D）；
- 三角网插值（Triangulated Irregular Network, TIN）；
- 矩形双线性插值（Bilinear Interpolation in a Rectangle）。
这三种方法的误差计算推导如下：
传播误差（Propagation Error $d_t$） 论文分别通过数学推导得出每种方法在数据传播过程中对源数据误差的放大或保持特性。例如，对于一维线性插值，传播误差公式表示为： [ d_t = v_1 d_a + v_2 d_b ] 其中$v_1$和$v_2$表示插值点t到两个端点a和b的距离权重（如 ((x_b - x_t)/(x_b - x_a))）。接下来的推导表明，无论是一维线性插值、TIN还是双线性插值，这些传播误差值始终被源数据中的最大误差所限制。
插值误差（Interpolation Error $r_t$） 插值误差的分析更加复杂，各插值方法都会因地形形态的复杂性而引入一定误差。误差通过数学公式与地形的二阶导数（描述地形斜率变化的快慢，即曲率）直接相关。对于一维线性插值，误差上限公式为： [ |r_t| \leq \frac{1}{8} m_2 h^2 ] 其中$m_2$是地形的二阶导数最大值，$h$是插值分段的最大间距。TIN和矩形双线性插值的插值误差公式分别对地形的形状复杂度及长边间距有更高依赖性。
这些推导展示了插值误差对地形形态的敏感性，也阐明了二维高阶插值由于多方向误差累积可能带来的风险。
3. 对误差结果的分析 数据分析结果证明了： 1. 传播误差主要受源数据精度影响，与插值方法关系不显著。 2. 插值误差则显著依赖于： - 地形复杂性（通过形态参数$m_2$或$m_4$衡量）； - 源数据的采样间距（$h$）。 3. 对于复杂地形或稀疏采样的情况下，任何插值方法都不能有效提高DEM精度；而在高密度采样或精度高的情况下，插值方法间的差异变得不显著。
本研究首次通过理论推导揭示了DEM误差与地形形态、采样密度及插值方法之间的定量关系。特别是展现了线性多项式插值的行为规律，研究结果表明： - TIN尽管在DEM生成中广为采用，但在某些场景下其插值误差可能高于一维线性插值； - 一维线性插值具有较低的插值误差上限，因此值得进一步开发其严谨的计算实现方式； - 插值误差的大小决定DEM用于不同领域的适用性，如地形分析需要高精度，但简单的流域划分对误差较不敏感。
该研究还有以下价值： - 对DEM生产标准提供了新参考，特别是“最大误差”评估可用于补充传统的统计指标（如RMSE）；
- 指导了采样方案的设计，即在复杂地形可增加局部采样密度以降低区域误差。
本文以近似理论为基础，为DEM插值误差的精度评估开辟了一条新路径。其提出的数学框架及推导结果，不仅为更好理解DEM误差提供了理论支撑，同时也为未来的DEM专业质量控制和插值算法优化明确了方向。