作者和研究单位：本文由 Nathan van de Wouw（Eindhoven University of Technology 和 University of Minnesota 兼职教授）、Wim Michiels（KU Leuven）以及 Bart Besselink（KTH Royal Institute of Technology）联合撰写。
发表信息：文章发表于《Automatica》期刊的第55卷（2015年），出版日期为2015年3月24日。
这篇文章针对一种重要的数学建模方法——时滞微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）的降阶模型（Model Reduction）展开研究。时滞微分方程广泛应用于工程、生物学和控制理论等诸多领域，如高效加工中的高速切削、随机计算中的动态优化、控制系统中的反馈建模等。由于这些模型往往规模庞大且复杂，直接分析或在实际系统中使用存在较大困难，因此对模型的降阶既能简化复杂度，又能保留关键动态行为，这一点至关重要。
尽管在常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）上的模型降阶技术已成熟，如平衡截断（Balanced Truncation）、Krylov子空间方法等，但这些传统方法在面对具有时滞特性的微分方程时面临挑战，因为多数降阶算法会丢失系统的时滞特性，这可能对降阶后的模型可靠性与稳定性造成不利影响。因此，本文的主要目的是探讨一种能够保留系统结构（如时滞特性）的方法，用于大规模时滞微分方程的降阶，并且确保其输入–输出稳定性及误差范围。
本文的核心流程可分为以下几部分：
作者将原始大规模时滞微分方程通过反馈互连的形式分为以下两部分： - 子系统 σ1：一个有限维的线性子系统，其包含非时滞部分（如状态空间模型表达）。 - 子系统 σ2：与时滞相关的算子部分，其特定为积分的形式。
这一结构分解使得系统的复杂性得以降低，同时为后续的降阶提供了明确的界限。此外，为了使降阶更加高效，作者采用矩阵的秩分解，以保证最小化时滞相关矩阵的维度。
针对线性子系统 σ1，研究中采用了优化的平衡残差法（Balanced Residualization）。这一技术基于信号能量的均衡性对系统进行截断，从而保留最重要的动态特性。相比传统的平衡截断方法，平衡残差法更适合时滞系统，同时可以直接被整合到降阶后模型的时滞重新表达中。
降阶完成后，子系统 σ1 的降阶版本 σ̂1 被视为一个新的有限维近似模型，与未处理的时滞算子部分 σ2 再次组合。特别地，作者通过理论证明了降阶后的模型能够被重新整理为一个与原始方程结构类似的时滞微分方程形式，使工业领域中的时滞建模及分析技术能够被有效衔接。
为了确保降阶模型的稳定性，作者提出了以小增益定理（Small-Gain Theorem）为核心的理论框架。如果满足以下小增益不等式： [ (\gamma{wv} + \epsilon{wv})\tau < 1 ] 那么降阶模型 σ̂ 是渐近稳定且 L2 增益稳定的，基于这一框架，可以进一步构造输出误差的上界： [ | \delta y |_2 \leq \epsilon | u |_2 ]
其中，误差界 (\epsilon) 可通过高阶模型的属性、降阶误差以及延迟参数的先验知识直接计算。
本文进一步将方法推广至部分非线性系统，特别是包含不确定、时变时滞的系统建模中。对于这样的系统，作者将非线性算子的 Lipschitz 性特性和扩展增益定理结合，重新设计了误差估计和稳定性证明方法。
时滞保留与系统稳定性
降阶后模型能够在保持原始系统的时滞特性的同时，满足渐近稳定性和 L2 增益稳定性。这保证了模型在实际应用中的动态一致性。
误差估计的有效性
误差界评估表明，降阶后的模型输出对于原始高阶系统保持高精度逼近，具体误差界限可以通过降阶前的理论推导准确量化。
算例验证
通过一个柔性梁振动抑制的高阶时滞系统，验证了本文方法的实用性。验证中，高阶原始模型因输入扰动而引发的振荡行为，在降阶后的系统中得到了精确复现，且降阶模型的阶数仅为高阶模型的4\%。
本文提出了一种结构保留型的模型降阶方法，特别适用于具有时滞特性的系统。与现有方法相比，本文的研究在以下几个方面尤为突出：
科学价值：
应用价值：
创新性亮点：
该研究通过针对性方法论创新，解决了具有时滞特性的大规模动态系统降阶难题，方法具有广泛的理论意义和实际适用性。未来的研究可探索进一步通用化的方法，使其平衡不同动态场景下的适用性和计算效率。