这是一篇发表于Systems & Control Letters期刊的原创性研究论文，属于类型a。以下是研究报告：
本研究由V.L. Kharitonov和E. Plischke完成，分别来自墨西哥国立理工学院自动控制系和德国不来梅大学技术数学中心。该研究发表于2006年的Systems & Control Letters期刊。
该研究属于时滞系统(Time-delay Systems)控制理论领域。研究背景可追溯到Krasovskiǐ和Repin的开创性工作。近期，研究者引入了改进的Lyapunov-Krasovskiǐ泛函(Lyapunov-Krasovskiǐ Functionals)，其时间导数不仅依赖于当前状态，还依赖于时滞系统的过去状态。这种改进使得该泛函可用于时滞系统的鲁棒性分析。这些泛函的构造基于一个线性矩阵微分-差分方程的解，该方程在有限时间区间上满足额外的对称性和边界条件。这个解被称为时滞Lyapunov矩阵(Delay Lyapunov Matrix)。本研究的主要目标是研究这些时滞Lyapunov矩阵的存在性和唯一性问题。
研究工作主要包含以下几个部分：
首先，研究者建立了线性时不变时滞系统的数学模型。该模型包含多个时滞项，形式为： ẋ(t) = Σ(k=0到m) ak x(t-hk) 其中ak为给定矩阵，hk为给定时滞。
随后，研究者定义并分析了完备型Lyapunov-Krasovskiǐ泛函，证明了当且仅当时滞系统指数稳定时，这种泛函存在。
研究者提出了时滞Lyapunov矩阵问题，即寻找满足特定矩阵延迟微分方程及额外边界条件的连续解。对于指数稳定的系统，证明了该解的唯一性。
对于单时滞情况，研究者将问题转化为有限维边值问题，并得到了解的存在性和唯一性的必要充分条件：当且仅当有限维系统没有两个特征值之和为零时，解存在且唯一。
主要研究结果包括：
证明了对于指数稳定的时滞系统，时滞Lyapunov矩阵通过积分表示是唯一的。
对于单时滞情况，发现了时滞Lyapunov矩阵不唯一定义的充要条件：当且仅当无穷维时滞系统与有限维系统共振（即两个系统共享特征值和特征向量）时。
建立了计算时滞Lyapunov矩阵的具体方法，包括构造系统矩阵、计算初值和求解线性系统等步骤。
对于单时滞情况，提出了独立于时滞的指数稳定性判据。
本研究的创新之处在于：首次系统地研究了时滞Lyapunov矩阵的性质，特别是其存在性和唯一性问题；发展了新的理论方法，将无穷维问题转化为有限维问题进行分析；提出了实用的计算方法。
研究的理论价值在于深化了对时滞系统稳定性分析的理解，完善了Lyapunov方法在时滞系统中的应用理论。实践价值在于提供了计算时滞Lyapunov矩阵的具体方法，这对时滞系统的稳定性分析和控制设计具有重要意义。
该研究还通过具体算例验证了理论结果，包括”热水器问题”和二阶系统的分析，展示了理论方法的实际应用效果。研究为时滞系统的Lyapunov矩阵分析提供了系统的理论框架，为该领域的进一步研究奠定了基础。