学术报告：基于时滞Lyapunov矩阵和离散化Lyapunov泛函方法的线性时滞系统稳定性分析

作者与所属机构及发表信息

本文由 Rina V. Alexandrova 和 Aleksandr I. Belov 撰写，作者分别隶属于 St. Petersburg State University（俄罗斯圣彼得堡国立大学）。文章发表在期刊《Automatica》，卷号为171，文章号为111793，预计于2025年出版，在线可访问日期为2024年9月15日。

研究的学术背景及目的

研究领域及背景
本文聚焦于线性时滞系统（Linear Time Delay Systems）的指数稳定性（Exponential Stability）问题，研究领域涉及控制理论和时滞系统动力学。线性时滞系统的稳定性分析是系统控制中的重要课题，因为时滞行为常出现在各种实际系统中，例如通信网络、控制回路、生物系统等。然而，由于时滞系统的无限维属性，其稳定性分析面临较大挑战。

现有研究与问题
在过去的研究中，Krasovskii 泛函（Lyapunov-Krasovskii Functionals）及其延展性（完整型、离散化等）被广泛用于时滞系统的稳定性研究，例如 Huang(1989)、Kharitonov 和 Zhabko（2003）等人的工作，为建立稳定性判据提供了坚实的理论基础。此外，最近的研究（如 Gomez et al., 2019 等）强调利用时滞Lyapunov矩阵（Delay Lyapunov Matrix）来处理时滞系统的有限稳定性条件，并指出评估一组合适的块矩阵的正定性是系统稳定的必要和充分条件。然而，该方法在实际应用中，相关矩阵的维度往往过高，导致计算复杂性增幅。

研究目的
为了克服上述方法的局限性，本文旨在结合时滞Lyapunov矩阵框架和K. Gu的离散化方法来显著降低矩阵维度，同时保持原始块矩阵结构，提出一个具可实施性的新稳定性判据。本文的研究关注效率和计算复杂性间的平衡，并希望通过新的分析框架为更多系统的鲁棒稳定性与控制问题提供启发。

研究的具体流程

第一步：基础理论和问题定义
研究首先定义了线性时滞系统的基本形式： [ \dot{x}(t) = A_0x(t) + A_1x(t-h), t \geq 0, ] 其中，( A_0 )和( A_1 )为常系数矩阵，( h \geq 0 ) 为时滞。随后通过理论推导构造了用于描述系统稳定性的时滞Lyapunov矩阵，遵循动态方程： [ \frac{dU(\theta)}{d\theta} = U(\theta)A_0 + U(\theta-h)A_1, \; \theta > 0, ] 并分析了系统矩阵的对称性和代数性质。

在这一过程中，作者重申了此前Kharitonov（2013）提出的几个关键结论，例如系统指数稳定性可以通过验证Lyapunov矩阵值构成的有限维块矩阵的正定性来表征。

第二步：设计完整型泛函（Complete-type Functional）和离散化方法
作者从Lyapunov-Krasovskii框架出发，引入了一种基于时滞Lyapunov矩阵的二次型泛函 ( V_0(\phi) )： [ V0(\phi) = \phi^\mathrm{T}(0)U(0)\phi(0) + 2\phi^\mathrm{T}(0)\int{-h}^0 Q(s)\phi(s) \, ds + \int{-h}^0\int{-h}^0 \phi^\mathrm{T}(s_1)R(s_1, s_2)\phi(s_2) \, ds_2\,ds_1, ] 其中 ( Q(s) ) 和 ( R(s_1, s_2) ) 分别为特定核函数，涉及Lyapunov矩阵的值及其导数。随后，讨论了泛函的构造以及在系统解沿轨迹变化时其导数的表现形式。

为了降低计算复杂性，作者引入了核函数的分段线性近似（Piecewise Linear Approximation），并构造了离散化形式 ( V_0^{(n)}(\phi) )。这一泛函由如下离散化变量表示： [ V0^{(n)}(\phi) = \phi^\mathrm{T}(0)U(0)\phi(0) + 2\phi^\mathrm{T}(0)\sum{j=1}^{n} Qj \int{\thetaj}^{\theta{j-1}} \phi(s)ds + \dots, ] 从而最终以线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities, LMI）的形式表达了离散化条件。

第三步：误差界估计与稳定性判据
为了确保离散化泛函 ( V_0^{(n)}(\phi) ) 近似于原始泛函 ( V_0(\phi) )，作者通过Taylor展开及解析估计，推导出误差界的闭合表达式： [ |V_0(\phi) - V_0^{(n)}(\phi)| \leq \frac{c}{n^2}|\phi|_h^2, ] 其中 ( c ) 是由Lyapunov矩阵的二阶导数的上界和时滞值 ( h ) 决定的参数。

基于此，作者提出了一种必要且充分的稳定性判据：若矩阵 ( K_n ) 的正定性在某一有限维情况下（例如 ( n = n^* )）得以验证，则系统 ( (1) ) 指数稳定。

作者进一步研究了该判据的维度缩减效果，并讨论了与传统离散化方法的差别（例如Gomez et al., 2019 和 Bajodek et al., 2023）。

研究的主要结果

降低计算复杂度
研究通过离散化Lyapunov泛函以及直接利用Lyapunov矩阵显著减少了计算的矩阵维度，从而有效降低了计算复杂性。具体而言，与Gomez等人的方法相比，该方法矩阵规模降低近一半。

指数稳定性条件
研究给出了新的离散化Lyapunov判据，其精确表述为某一块矩阵的正定性条件，并通过矩阵 ( K_{n^*} ) 的验证推动了稳定性分析的收敛性与理论一致性。

数值测试与对比
为了验证方法的优越性，作者在多组标准时滞系统上进行了数值实验，发现与其他方法相比，此方法在指标收敛速度和矩阵维数方面表现更佳。

研究的意义与创新点

1. 学术价值：本文通过结合时滞Lyapunov矩阵和离散化Lyapunov泛函方法，提出了一种计算复杂度更低的指数稳定性判据，为广泛的时滞系统稳定性分析提供了新的方法论工具。
2. 实践价值：该方法能够应用于实际工业与工程问题中具有高维矩阵属性的时滞系统，为其控制优化和可靠性分析提供了支持。
3. 创新点：与现有方法相比，本文保留了块矩阵结构，并通过新的离散化方式显著降低了矩阵维度，显示了其在高效性和理论一致性上的高度优势。

总结与展望

本文在时滞系统研究中引入了一种高效的Lyapunov矩阵-离散化方法，突破了传统方法在计算维度上的瓶颈。未来的研究可以探索更多样化的离散化方法（如近似多项式方法）或尝试将此方法应用于更高维或者分布时滞系统中，以进一步拓展其科学与工程影响力。