综合报告

作者及机构信息

该研究的主要作者是 Rihui Lan，与其合作者 L. Ju, Z. Wang (University of South Carolina, UofSC), M. Gunzburger (Florida State University, FSU), P. Jones (Los Alamos National Laboratory, LANL)，以及 W. Leng (Chinese Academy of Sciences, CAS)。该研究发表于《Journal of Computational Physics》和《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》期刊，其中两篇相关研究的发表时间分别为 2022 年和 2021 年。

研究背景

本文属于数值计算和海洋动力学的交叉领域，具体聚焦于原始方程（primitive equations）在海洋建模中的应用，尤其是斜压模式（baroclinic mode）和正压模式（barotropic mode）的分裂动态模拟。传统的时间离散方法如显式求解，难以精确且高效地处理海洋模式的多尺度动力学问题，尤其在耗时复杂的模拟中，数值稳定性和计算效率都是重大挑战。因此，本文旨在通过开发高阶显式时间积分方法，提升海洋模式分裂动力学计算的准确性和效率。

研究目标及核心技术框架

该研究主要研发了两种高阶多速率显式时间积分方法，分别是基于二阶 SSPRK2（Strong Stability Preserving Runge-Kutta）和三阶 SSPRK3 的分裂显式时间积分方法。这些方法在处理斜压与正压模式分裂时结合了经典方法中的解析时间积分技术（Exponential Time Differencing, ETD）。此外，研究引入了海面高度融合算法，实现了模式分裂过程中潜在的不一致性修正。这些改进不仅旨在提高数值稳定性，还提升了整体计算效率。

工作流程详述

该研究在总体框架上划分为四个主要部分，分别处理模型构建、算法设计、数值实验和性能验证。

1. 模型方程与空间离散方法

研究采用海洋动力建模的原始方程组，其中包括流体厚度方程、动量方程及其它状态方程。显式说明模型中关键变量如水平速度（u）、压力（p）、密度（ρ）及盐度（s）的物理含义。通过垂直分层的方法，模型能够精确体现分层流体的特性。

在空间离散上，研究采用 MPAS-Ocean 中的 TRiSK 网格系统。该系统基于 Voronoi-Delaunay 双重网格，应用有限体积法离散梯度、旋度和散度算子，旨在确保数值解在多分辨率下具有一致性。此外，模型支持对全球尺度和局部区域进行细粒度数值模拟。

2. 高阶多速率显式积分设计

研究核心在于 SSPRK2 和 SSPRK3 方法的应用与扩展： - SSPRK2-SE 方法：分为两个阶段，第一阶段通过二阶 RK 方法迭代计算斜压模式的动量，将多个子步骤用于正压模式下的修正；同时更新海洋层厚，最终通过一致性调整海面高度（SSH）误差。 - SSPRK3-SE 方法：类似于 SSPRK2，但增加了第三阶段用于更高阶的精度。一些特定的权重因子应用于子步骤间的修正，以确保整体的数值稳定性。

在时间积分过程中，通过构造 Krylov 子空间的方法高效计算矩阵指数，从而优化大规模并行计算的效率。

3. 数值实验与结果

为了验证方法的可行性，研究在以下两个典型实验中进行了应用与测试： - 实验一：斜压通道问题
本实验模拟了海洋中的水平通道流动，通过横向440 km、纵向160 km 的周期性域设置。研究设置了不同时间步长（如 0.25 秒）和垂直分层数量（20 层），比较了 SSPRK2-SE 和 SSPRK3-SE 方法对稳定性和误差收敛率的表现。结果表明，海面高度一致性调整显著提高了数值的整体精度，同时仅需较小的计算开销。

• 实验二：全球海洋模式问题
  基于 MPAS-Ocean 的非均匀网格实验，研究分别在分辨率为 240 公里的全球网格（QU240）以及混合分辨率网格（EC60to30）上进行了拟真模拟。两种方法在模拟过程中展现出数量阶收敛特性，特别是在 SSH 修正情况下更高效地捕捉了细节，表现出优越的时间一致性。

4. 性能测试

研究还从并行性能的角度验证了其所提算法在高性能计算环境中的扩展性。测试在 NERSC 的 “Cori” 集群上进行，测试表明 SSPRK2 和 SSPRK3 都具有良好的扩展性，尤其在高分辨率模拟中，提出的方法显著减少了计算时间。

主要结果与结论

1. 通过数值实验和实际应用，SSPRK3-SE 方法在时间收敛性和稳定性方面优于传统方法。虽然其阶次为三阶，但在全局精度上具有更高保证。
2. 研究中的 SSH 调整算法通过流量的形式解决了模式分裂带来的潜在数值不一致，确保了所有分层厚度与正压/斜压模式计算的协调性。
3. Krylov 子空间方法的引入在矩阵指数计算中进一步降低了算法的复杂性，展现出良好的计算效率。

研究意义与价值

本研究的科学价值主要体现在以下几个方面： 1. 从理论上提出了处理海洋模式分裂的高效时间积分方法，为解决多尺度物理问题提供重要工具。 2. 实验结果验证了其在实际场景中的高度适应性，可为全球及区域海洋模拟的进一步研究提供关键支持。 3. SSH 调整理念可推广至其他具有分裂模式的物理问题，具有广泛的应用潜力。

亮点与特色

• 提出了两类高阶显式时间积分方法的创新性设计。
• 开发了海面高度一致性修正的流量形式，解决了长期存在的模式分裂数值问题。
• 良好的数值稳定性与并行扩展能力为未来大规模模拟奠定了基础。

持续研究方向

• 提升 SSPRK3-SE 方法的三阶时间精度，从而进一步优化其误差收敛性能。
• 在快速正压模式中引入隐式求解器，以支持更大步长的计算场景。
• 结合示踪剂的求解，将本文方法引入其他复杂流体模型。

这项研究为高性能海洋建模带来了诸多创新性贡献，同时也为多尺度动力学模拟方法的设计提供了新思路。