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本研究的主要作者是Somayeh Khezri和Salman Khodayifar，他们来自伊朗Zanjan的基础科学高级研究所（Institute for Advanced Studies in Basic Sciences, IASBS）数学系。该研究于2023年4月25日在线发表在期刊《Computers & Operations Research》上，文章编号为106260。
本研究聚焦于网络优化领域中的一个特定问题，即多商品最小成本网络流问题（Minimum Cost Multi-Commodity Network Flow Problem, MCNF）。该问题的复杂性在于网络中每条弧的成本参数存在不确定性。为了解决这一问题，研究者提出了一种多目标优化方法，将容量约束的系数建模为服从正态分布的随机变量，并使用阿基米德Copula（Archimedean Copula）来描述这些随机变量之间的依赖关系。容量约束被表示为联合机会约束（Joint Chance Constraints），并通过模糊规划（Fuzzy Programming）将不确定的多目标问题转化为确定的多目标问题。最终，研究者使用二阶锥规划（Second-Order Cone Programming, SOCP）将确定的多目标问题转化为单目标问题，并通过分段切线逼近（Piecewise Tangent Approximation）和分段线性逼近（Piecewise Linear Approximation）方法进行求解。
研究的主要流程包括以下几个步骤：
问题建模：
研究者首先将多商品最小成本网络流问题建模为一个多目标优化问题，其中每条弧的成本参数为随机变量，且这些随机变量之间可能存在依赖关系。为了处理不确定性，研究者将容量约束表示为联合机会约束，并使用阿基米德Copula来描述随机变量之间的依赖关系。
模糊规划转化：
通过模糊规划方法，研究者将不确定的多目标问题转化为确定的多目标问题。这一步骤的核心是将随机约束转化为确定性约束，从而使得问题可以在确定性的框架下进行求解。
二阶锥规划转化：
研究者进一步将确定的多目标问题转化为单目标问题，并使用二阶锥规划进行求解。二阶锥规划是一种凸优化方法，适用于处理具有二次约束的优化问题。
分段逼近方法：
为了求解二阶锥规划问题，研究者提出了分段切线逼近和分段线性逼近方法。这些方法通过将非线性函数近似为分段线性或分段切线函数，从而简化了问题的求解过程。
数值实验与测试：
研究者通过数值实验和测试验证了所提出方法的有效性。他们使用了一个包含8个节点和14条弧的网络作为示例，并在大规模网络问题上进行了测试，结果表明所提出的方法能够有效解决不确定的多目标多商品最小成本网络流问题。
研究的主要结果包括：
联合机会约束的确定性转化：
研究者成功地将联合机会约束转化为确定性约束，并通过模糊规划方法将不确定的多目标问题转化为确定的多目标问题。这一结果为处理具有不确定性的网络流问题提供了新的思路。
二阶锥规划的有效性：
通过二阶锥规划，研究者将多目标问题转化为单目标问题，并提出了分段切线逼近和分段线性逼近方法进行求解。数值实验表明，这些方法能够在大规模网络问题上高效求解。
数值实验结果：
研究者在一个包含8个节点和14条弧的网络上进行了数值实验，测试了不同依赖系数（θ）和插值点数量（l）下的求解效果。实验结果表明，随着插值点数量的增加，上下界之间的差距逐渐缩小，证明了所提出方法的有效性。
本研究的科学价值在于提出了一种新的方法来解决具有不确定性的多目标多商品最小成本网络流问题。通过联合机会约束、模糊规划和二阶锥规划的结合，研究者成功地将不确定问题转化为确定问题，并提出了有效的求解方法。该方法在通信系统、城市交通系统、铁路系统和物流系统等实际应用领域具有广泛的应用前景。
本研究的亮点包括：
联合机会约束的应用：
研究者首次将联合机会约束应用于多商品最小成本网络流问题，为处理不确定性提供了新的思路。
模糊规划与二阶锥规划的结合：
通过模糊规划和二阶锥规划的结合，研究者成功地将不确定的多目标问题转化为确定性问题，并提出了有效的求解方法。
分段逼近方法的创新：
研究者提出了分段切线逼近和分段线性逼近方法，这些方法在求解大规模网络流问题时表现出色，具有较高的计算效率。
研究者在数值实验中详细测试了不同依赖系数和插值点数量下的求解效果，结果表明所提出的方法在处理大规模网络问题时具有较高的效率和准确性。此外，研究者还提供了详细的算法流程和数学推导，为后续研究提供了参考。
通过本研究，研究者为解决具有不确定性的多目标多商品最小成本网络流问题提供了一种新的方法，为实际应用中的网络优化问题提供了有力的工具。