本文介绍了一篇发表在《Applied Soft Computing》期刊上的研究论文，题为《A Pareto Dominance Relation Based on Reference Vectors for Evolutionary Many-Objective Optimization》。该研究由Shuai Wang、Hui Wang、Zichen Wei、Feng Wang、Qingling Zhu、Jia Zhao和Zhihua Cui等人共同完成，分别来自南昌工程学院、武汉大学、深圳大学和太原科技大学等机构。论文于2024年发表，主要探讨了多目标优化问题（Many-Objective Optimization Problems, MaOPs）中的帕累托支配关系（Pareto Dominance）及其改进方法。
多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problems, MOPs）在工程应用中非常常见，通常涉及多个相互冲突的目标函数。随着目标数量的增加，传统的帕累托支配关系在解决多目标优化问题时面临选择压力下降的问题，导致解的收敛性和多样性难以平衡。特别是当目标数量超过3个时，问题被称为多目标优化问题（MaOPs）。传统的多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithms, MOEAs）在处理MaOPs时表现不佳，主要原因在于大多数解在种群中是非支配的，导致选择压力不足，收敛速度变慢。
为了解决这一问题，研究者们提出了多种改进方法，主要分为两类：一是修改或开发新的帕累托支配关系，以增强解之间的选择压力；二是将帕累托支配与其他策略结合，以平衡收敛性和多样性。本文属于第二类研究，提出了一种基于参考向量的帕累托支配关系（PRV-Dominance），旨在通过参考向量将种群划分为多个子区域，并通过新的收敛度量和密度度量来增强解的收敛性和多样性。
本文提出的PRV-Dominance方法主要包括以下几个步骤：
种群划分与子区域生成：首先，根据一组均匀分布的参考向量将种群划分为多个子区域。每个解通过计算其与参考向量的欧几里得距离，分配到最近的参考向量所对应的子区域。每个子区域中的解数量称为密度（Density）。
收敛性增强：为了增强解的收敛性，设计了一个新的收敛度量（Rank），基于目标函数值的排序来确定两个解之间的支配关系。Rank值越小，解的收敛性越好。
多样性维护：通过子区域的密度来维护解的多样性。密度较大的子区域表示该区域较为拥挤，因此在选择解时会优先选择密度较小的子区域中的解。
PRV-Dominance的定义：基于上述收敛性和多样性度量，定义了PRV-Dominance关系。当两个解位于同一子区域时，Rank值较小的解被认为具有更好的收敛性；当两个解位于不同子区域时，除了Rank值外，还会考虑子区域的密度和邻域关系来确定支配关系。
PRV-NSGA-II算法：为了验证PRV-Dominance的有效性，研究者将其嵌入到经典的NSGA-II算法中，提出了PRV-NSGA-II算法。该算法通过替换NSGA-II中的帕累托支配关系为PRV-Dominance，来增强算法在处理MaOPs时的性能。
研究者在WFG和MAF两个基准测试集上进行了实验，测试了PRV-Dominance与其他八种支配关系的性能对比。实验结果表明，PRV-Dominance在大多数测试实例上表现优于其他支配关系，特别是在平衡收敛性和多样性方面表现出色。此外，PRV-NSGA-II算法在与其他六种先进的多目标进化算法对比中也表现出竞争力，尤其是在处理高维目标问题时，PRV-NSGA-II能够有效维持解的多样性和收敛性。
本文提出的PRV-Dominance方法为多目标优化问题提供了一种新的解决方案，特别是在处理高维目标问题时表现出色。通过引入参考向量和新的收敛度量，PRV-Dominance能够有效增强解的选择压力，平衡收敛性和多样性。此外，PRV-NSGA-II算法的提出为NSGA-II在处理MaOPs时的性能提升提供了新的思路。该研究不仅具有理论上的创新性，还为实际工程应用中的多目标优化问题提供了有效的工具。
本文通过引入基于参考向量的帕累托支配关系，提出了一种新的多目标优化方法PRV-Dominance，并通过实验验证了其在高维目标问题中的优越性能。该研究不仅丰富了多目标优化领域的理论，还为实际应用提供了有效的工具，具有重要的学术和应用价值。