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本研究由Darren Engwirda、Maxwell Kelley和John Marshall共同完成。Darren Engwirda和John Marshall来自麻省理工学院地球、大气与行星科学系，Maxwell Kelley则隶属于NASA戈达德空间研究所。该研究发表于2017年5月的期刊《Ocean Modelling》上。
本研究的主要科学领域是海洋建模，特别是分层海洋模型中的压力梯度力的数值计算方法。分层海洋模型通过将流体划分为一系列曲线层来模拟海洋的垂直结构，这种模型能够更精确地描述海洋的垂直输运过程。然而，由于流体热力学与几何结构之间的复杂相互作用，压力梯度力的离散化一直是一个具有挑战性的任务。传统的数值方法在处理非线性方程状态、非均匀分层剖面和陡峭层几何时，常常会导致数值不稳定性和误差。
本研究的背景知识包括流体力学中的压力梯度力、广义垂直坐标系以及有限体积法。研究的目的是开发新的高精度有限体积法，以解决分层海洋模型中压力梯度力的数值计算问题，特别是在非线性方程状态和非均匀分层剖面的情况下保持静水平衡。
本研究分为以下几个主要步骤：
问题定义与背景分析
研究首先分析了分层海洋模型中压力梯度力离散化的难点，特别是由于非线性方程状态、分层剖面和层几何之间的相互作用导致的数值不稳定性。研究回顾了已有的方法，包括Montgomery势方法和半解析有限体积法，并指出这些方法在处理复杂情况时的局限性。
新方法的提出
研究提出了两种新的有限体积法，分别称为层式有限体积法和矩形有限体积法。这两种方法都通过积分作用于动量控制体积边界的接触压力来计算水平加速度。层式有限体积法采用与层几何一致的四边形控制体积，而矩形有限体积法则采用轴对齐的矩形控制体积，可能跨越多个相邻的流体层。
数值积分框架的构建
研究开发了高精度的数值积分框架，用于处理非线性方程状态和热力学剖面的积分。该框架通过多项式近似和数值积分规则来计算静水关系和接触压力积分，确保在非线性情况下保持静水平衡。
实验设计与数值模拟
研究设计了一系列二维海洋静止测试案例，以评估新方法的精度和稳定性。测试案例包括线性分层、二次分层和指数分层的初始条件，模拟了在复杂地形和非线性方程状态下的海洋静止状态。研究使用高精度的数值积分规则和多项式重建技术来初始化流体状态，并通过长时间积分来测量流体的漂移。
结果分析与比较
研究对比了两种新方法在不同测试案例中的表现，分析了它们在处理非线性分层和陡峭层几何时的精度和稳定性。结果表明，矩形有限体积法在保持静水平衡方面表现更为优异，特别是在处理非线性分层剖面时，能够显著减少虚假水平速度的产生。
线性分层测试
在初始条件为线性分层的测试案例中，两种新方法都表现出了高精度的数值积分能力。使用高精度的数值积分规则（如3×5积分规则）时，两种方法都能将虚假水平速度控制在机器精度范围内（小于1×10^-11 m/s），表明它们能够精确保持静水平衡。
二次分层测试
在初始条件为二次分层的测试案例中，层式有限体积法在处理陡峭层几何时出现了较小的虚假水平速度（约1×10^-4 m/s），并导致了温度漂移（约3×10^-2 °C）。相比之下，矩形有限体积法仍能保持几乎无误差的静水平衡，虚假水平速度小于1×10^-11 m/s，温度漂移可忽略不计。
指数分层测试
在初始条件为指数分层的测试案例中，两种方法都表现出了虚假水平速度，但层式有限体积法的误差（约4×10^-4 m/s）显著高于矩形有限体积法（约6×10^-6 m/s）。研究表明，这些误差主要来源于层式有限体积法中水平插值操作的不准确性，以及指数分层剖面在垂直重建中的近似误差。
本研究提出了两种新的高精度有限体积法，用于分层海洋模型中压力梯度力的数值计算。这两种方法通过高精度的数值积分和多项式重建技术，能够有效处理非线性方程状态、非均匀分层剖面和陡峭层几何，保持静水平衡。特别是矩形有限体积法，在处理复杂分层剖面时表现出了更高的精度和稳定性。
本研究在海洋建模领域具有重要的科学价值。通过开发新的数值方法，研究解决了分层海洋模型中压力梯度力离散化的难题，提高了模型在处理复杂海洋环境时的精度和稳定性。这些方法可以应用于全球气候模型和数值天气预报中，特别是在使用混合垂直坐标系和地形跟随坐标系时，能够显著减少虚假水平速度的产生，提高模拟结果的可靠性。
研究还讨论了新方法在计算成本方面的优化空间，特别是在处理高分辨率三维全球海洋环境时的计算效率问题。未来的研究将进一步评估这些方法在动态和耦合环境中的表现，并探索减少计算成本的途径。