本文档属于类型a，即报告了一项原创性研究。以下是针对该研究的学术报告：
本研究由Yunlong Li和Fei Wang共同完成，两人均来自西安交通大学数学与统计学院。Fei Wang是该研究的通讯作者。该研究发表在《Journal of Computational Physics》期刊上，并于2025年2月13日在线发表。
该研究的主要科学领域是计算物理学，特别是针对界面问题（interface problems）的数值模拟方法。界面问题在流体-结构相互作用、多相流等复杂物理现象中非常常见，通常涉及多物理场耦合。传统的数值方法在处理界面条件时面临诸多挑战，例如复杂的几何形状和动态边界。近年来，深度神经网络（deep neural networks, DNNs）因其无网格（mesh-free）特性和灵活性，成为解决偏微分方程（partial differential equations, PDEs）的潜在工具。然而，DNNs的训练过程通常耗时且容易陷入局部最优解。
为了解决这些问题，作者提出了一种基于随机化神经网络（randomized neural networks, RANNs）和有限差分方法（finite difference methods, FDM）的无网格方法，称为局部随机化神经网络与有限差分方法（local randomized neural networks with finite difference methods, LRANN-FDM）。该方法通过在不同子域中使用不同的RANNs来近似解，避免了传统DNNs中的优化求解器，从而提高了计算效率。
问题定义与模型建立
研究首先定义了界面问题，特别是椭圆型（elliptic）和抛物型（parabolic）界面问题。椭圆型界面问题的模型方程为：
[ -\nabla \cdot (\beta(\mathbf{x}) \nabla u) = f, \quad \mathbf{x} \in \omega
]
抛物型界面问题的模型方程为：
[ \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (\beta(\mathbf{x}) \nabla u) = f, \quad (\mathbf{x}, t) \in \omega \times (0, T)
]
其中，(\beta(\mathbf{x}))是扩散系数，(u)是解，(f)是源项，(\omega)是定义域，(\gamma)是界面。
LRANN-FDM方法的设计
该方法的核心思想是将整个定义域划分为若干个子域，每个子域使用一个RANN来近似解。通过有限差分方法在随机采样点上离散化界面问题，并使用最小二乘法求解线性系统。与自动微分（automatic differentiation）相比，有限差分方法在计算偏导数时速度更快。
空间-时间方法的应用
对于时间依赖的界面问题，作者采用了空间-时间（space-time）方法，将时间和空间变量同等对待，避免了时间步长迭代和误差累积。
数值实验与验证
作者通过多个数值实验验证了LRANN-FDM方法的有效性和鲁棒性。实验包括二维和三维的椭圆型界面问题、多界面问题以及高维界面问题。实验结果表明，与传统的数值方法相比，LRANN-FDM在精度和计算效率上均有显著提升。
椭圆型界面问题的实验结果
在二维和三维的椭圆型界面问题中，LRANN-FDM方法展示了高精度和低计算成本。例如，在二维花形界面问题中，相对(L^2)误差达到了3.78e-08，计算时间仅为1.17秒。
抛物型界面问题的实验结果
对于抛物型界面问题，空间-时间方法成功避免了时间步长迭代带来的误差累积，展示了该方法在处理时间依赖问题中的优势。
高维问题的实验结果
作者还成功地将LRANN-FDM方法应用于20维的椭圆型界面问题，展示了该方法在处理高维问题时的潜力。
研究表明，LRANN-FDM方法在处理界面问题时具有显著的优势。与传统的数值方法相比，该方法在精度和计算效率上均有显著提升，特别是在处理高维问题和复杂几何形状时表现尤为突出。此外，该方法避免了复杂的界面网格生成和拟合，极大地减少了训练时间。
创新性方法
LRANN-FDM方法结合了随机化神经网络和有限差分方法，避免了传统DNNs中的优化求解器，显著提高了计算效率。
高精度与高效性
实验结果表明，该方法在精度和计算效率上均优于传统的数值方法，特别是在处理高维问题和复杂几何形状时表现尤为突出。
广泛的应用前景
该方法不仅适用于椭圆型和抛物型界面问题，还可以扩展到其他类型的偏微分方程，具有广泛的应用前景。
作者还探讨了不同采样点数量和神经元数量对结果的影响，并通过调整权重(\gamma_i)来控制不同条件的重要性。这些细节为未来的研究提供了有价值的参考。
这项研究为界面问题的数值模拟提供了一种高效、精确的新方法，具有重要的科学价值和应用潜力。