Oscillations non linéaires d'un pendule sur une corde flexible extensible
Contexte académique
Le mouvement du pendule est l’un des problèmes fondamentaux de la mécanique classique, et les vibrations d’un pendule sur une corde flexible et extensible impliquent des phénomènes de dynamique non linéaire plus complexes. Ces problèmes ont une signification pratique étendue, par exemple dans les structures d’ingénierie, la biomécanique et la science des matériaux. Cependant, en raison de la flexibilité et de l’extensibilité de la corde, les vibrations du pendule impliquent non seulement des vibrations transversales, mais aussi des vibrations longitudinales, ce qui rend le problème particulièrement complexe. Les méthodes de recherche traditionnelles ont souvent du mal à traiter de tels systèmes vibratoires à plusieurs degrés de liberté et couplés de manière non linéaire.
Les auteurs de cet article visent à étudier les phénomènes de vibrations non linéaires d’un pendule sur une corde flexible et extensible, en particulier l’interaction entre les vibrations transversales et longitudinales et leurs mécanismes de transfert d’énergie. En proposant une méthode asymptotique analytique, les auteurs ont réussi à séparer les mouvements à haute et basse fréquence et à révéler les phénomènes de résonance dans le système. Cette recherche fournit non seulement de nouveaux outils théoriques pour comprendre les systèmes vibratoires non linéaires complexes, mais offre également des références importantes pour les applications d’ingénierie connexes.
Source de l’article
Cet article a été co-écrit par A. A. Malashin, A. D. Ostromogilskiy, D. A. Khramov, et P. A. Diakov. Ils sont respectivement affiliés au Département de mécanique et de mathématiques de l’Université d’État de Moscou (MSU), à l’Institut d’analyse des systèmes de l’Académie des sciences de Russie, et à l’Université technique d’État de Moscou Bauman. L’article a été accepté le 27 janvier 2025 et publié dans la revue Nonlinear Dynamics.
Processus de recherche et contenu détaillé
a) Processus de recherche
Modélisation du problème et établissement des équations
Les auteurs ont d’abord établi les équations du mouvement d’un pendule sur une corde flexible et extensible. Le mouvement de la corde est décrit par un ensemble d’équations différentielles partielles non linéaires couplées, qui prennent en compte les vibrations transversales et longitudinales de la corde. Pour simplifier le problème, les auteurs ont introduit des variables adimensionnelles et ont divisé les équations en deux parties décrivant les mouvements à haute et basse fréquence.Proposition et application de la méthode asymptotique
Les auteurs ont proposé une nouvelle méthode asymptotique pour séparer les mouvements à haute et basse fréquence. En introduisant un petit paramètre, ils ont transformé le problème en un système avec un temps “lent” et un temps “rapide”. Pour les mouvements à basse fréquence, les auteurs ont utilisé des équations elliptiques pour la description ; tandis que pour les mouvements à haute fréquence, ils ont utilisé des équations hyperboliques. Cette méthode a permis de simplifier le problème non linéaire complexe et de trouver des solutions approximatives via des séries asymptotiques.Simulation numérique et validation expérimentale
Pour vérifier la validité de l’analyse théorique, les auteurs ont effectué des simulations numériques. Ils ont conçu une méthode de différences finies pour résoudre les équations de mouvement à haute fréquence et ont validé les résultats des simulations numériques par des expériences. L’expérience a utilisé une corde en caoutchouc flexible avec une masse suspendue à une extrémité. Grâce à un équipement de caméra haute vitesse, les auteurs ont enregistré le processus de vibration de la corde et ont traité et analysé les données.
b) Résultats principaux
Solution analytique des mouvements à basse fréquence
Grâce à la méthode asymptotique, les auteurs ont obtenu une solution analytique pour les mouvements à basse fréquence et ont découvert que le mouvement du pendule ressemblait à celui d’un “pendule-ressort”. Ils ont également constaté que lorsque la tension de la corde était faible, l’amplitude des vibrations transversales augmentait de manière significative.Transfert d’énergie dans les mouvements à haute fréquence
Dans les mouvements à haute fréquence, les auteurs ont révélé un phénomène de transfert d’énergie des vibrations longitudinales vers les vibrations transversales. Dans certaines conditions initiales, l’amplitude des vibrations transversales pouvait augmenter plusieurs fois. Cette découverte offre une nouvelle perspective pour comprendre les mécanismes de transfert d’énergie dans les systèmes vibratoires complexes.Validation expérimentale
Les résultats expérimentaux ont montré une bonne correspondance entre l’analyse théorique, les simulations numériques et les données expérimentales. En particulier, dans le cas de la résonance, les auteurs ont observé un phénomène de transfert d’énergie prononcé, validant davantage la justesse du modèle théorique.
Conclusion et valeur de la recherche
En proposant une nouvelle méthode asymptotique, cet article a résolu avec succès le problème des vibrations non linéaires d’un pendule sur une corde flexible et extensible. La recherche a non seulement révélé les mécanismes de transfert d’énergie entre les vibrations transversales et longitudinales, mais a également fourni un support théorique important pour les applications d’ingénierie connexes. Par exemple, dans l’analyse des vibrations des ponts, des câbles et d’autres structures, cette recherche peut aider les ingénieurs à mieux comprendre et contrôler les phénomènes vibratoires, améliorant ainsi la sécurité et la stabilité des structures.
Points forts de la recherche
Méthode asymptotique novatrice
La méthode asymptotique proposée dans cet article offre de nouveaux outils pour traiter les systèmes vibratoires non linéaires complexes, en particulier dans la séparation des mouvements à haute et basse fréquence.Révélation du transfert d’énergie
La recherche a révélé pour la première fois le phénomène de transfert d’énergie des vibrations longitudinales vers les vibrations transversales dans un système de pendule sur une corde flexible et extensible, offrant une nouvelle perspective pour comprendre les systèmes vibratoires complexes.Rigueur de la validation expérimentale
Grâce à une conception expérimentale précise et à un traitement rigoureux des données, les auteurs ont validé la justesse de l’analyse théorique et des simulations numériques, renforçant la fiabilité des résultats de la recherche.
Autres informations utiles
La recherche présentée dans cet article a non seulement une valeur théorique, mais aussi un large potentiel d’application. Par exemple, dans les domaines de l’aérospatiale, du génie civil et du génie mécanique, cette recherche peut aider les ingénieurs à mieux comprendre et contrôler les phénomènes vibratoires dans les structures complexes, améliorant ainsi les performances et la sécurité des systèmes. De plus, la méthode asymptotique proposée peut être appliquée à l’étude d’autres problèmes de dynamique non linéaire, offrant une grande universalité et un potentiel de généralisation.