Modèle Fractionnel Avancé pour la Prédiction de l'Écoulement des Fluides à Contrainte de Cisaillement MHD

Contexte

Dans les recherches scientifiques et industrielles modernes, la dynamique des fluides non newtoniens (non-Newtonian fluids) attire une attention particulière en raison de leurs propriétés rhéologiques (rheological properties) uniques et de leurs applications étendues. Contrairement aux fluides newtoniens (Newtonian fluids), les fluides non newtoniens tels que les polymères, les boues et les fluides biologiques présentent une relation complexe et non linéaire entre la contrainte de cisaillement (shear stress) et le taux de déformation (strain rate). En particulier, les fluides de Casson, en raison de leur contrainte d’écoulement (yield stress) et de leur relation non linéaire contrainte-déformation, revêtent une importance significative dans la dynamique des fluides biologiques et les processus industriels. Cependant, les modèles traditionnels basés sur des dérivées d’ordre entier présentent des limites pour décrire le comportement de ces fluides, notamment lorsqu’il s’agit d’effets de mémoire (memory effects) et de dynamique de concentration aux limites (boundary concentration dynamics). Pour résoudre ce problème, le calcul fractionnaire (fractional calculus) a été introduit pour capturer plus précisément les caractéristiques uniques de ces fluides.

Cet article est co-écrit par Shazia Riaz, M. S. Anwar, Ayesha Jamil et Taseer Muhammad, respectivement du département de mathématiques de l’Université de Jhang au Pakistan et du département de mathématiques de l’Université King Khalid en Arabie Saoudite. L’étude a été publiée le 16 février 2025 dans la revue Nonlinear Dynamics, sous le titre “Advanced fractional model for predicting MHD yield stress fluid flow with boundary effects”.

Processus de recherche

1. Construction du modèle mathématique

L’étude commence par la construction d’un modèle de flux de fluide de Casson basé sur le calcul fractionnaire. Ce modèle prend en compte les effets de la magnétohydrodynamique (MHD), les réactions chimiques et les processus de diffusion sur la distribution de concentration. Plus précisément, les auteurs utilisent la dérivée fractionnaire de Caputo (Caputo fractional derivative) pour introduire des comportements non locaux et des effets de mémoire. Les équations de mouvement et de concentration sont modifiées à l’aide de dérivées fractionnaires pour décrire plus précisément le comportement du fluide.

2. Méthodes numériques de calcul

Pour résoudre ces équations aux dérivées partielles fractionnaires (fractional PDEs) complexes, l’étude adopte une méthode numérique combinant la méthode des différences finies (finite difference method, FDM) et la méthode des éléments finis (finite element method, FEM). La méthode des différences finies est utilisée pour la discrétisation des variables temporelles, tandis que la méthode des éléments finis est appliquée pour la discrétisation des variables spatiales. Cette approche hybride améliore non seulement l’efficacité des calculs, mais garantit également la précision des solutions numériques.

3. Simulation numérique et analyse des résultats

L’étude analyse en détail, à travers des simulations numériques, l’impact de différents paramètres physiques sur la vitesse du fluide et la distribution de concentration. Ces paramètres incluent les paramètres de dérivée fractionnaire α et β, le paramètre de Casson β′, le paramètre de magnétohydrodynamique M, les paramètres de diffusion λ7 et λ8, le nombre de Schmidt Sca ainsi que le paramètre de réaction chimique kc. Les résultats des simulations montrent que l’augmentation du paramètre de dérivée fractionnaire α améliore significativement la vitesse du fluide, tandis que l’augmentation de β entraîne une diminution de la concentration. De plus, l’augmentation du paramètre de Casson β′ améliore également la fluidité du fluide, tandis que l’augmentation du paramètre de magnétohydrodynamique M inhibe le mouvement du fluide.

Principaux résultats

1. Distribution de la vitesse

L’étude révèle que le paramètre de dérivée fractionnaire α a l’impact le plus significatif sur la vitesse du fluide. À mesure que α augmente, la vitesse du fluide montre une tendance à la hausse marquée. Ce phénomène indique que les dérivées fractionnaires permettent de mieux capturer les comportements non locaux et les effets de mémoire du fluide. En outre, l’augmentation du paramètre de Casson β′ améliore également significativement la vitesse du fluide, ce qui est attribué à la réduction de la contrainte d’écoulement.

2. Distribution de la concentration

En ce qui concerne la distribution de la concentration, l’étude montre que l’augmentation du paramètre de dérivée fractionnaire β entraîne une diminution de la concentration. Ce résultat met en lumière le rôle important des dérivées fractionnaires dans le contrôle de la diffusion et du transport de la concentration. Par ailleurs, l’augmentation du nombre de Schmidt Sca réduit également significativement la distribution de la concentration, indiquant que le rapport entre la diffusion de la quantité de mouvement et la diffusion de masse a un impact important sur la distribution de la concentration.

3. Impact des réactions chimiques

L’étude explore également l’impact des réactions chimiques sur le comportement du fluide. Les résultats montrent que l’augmentation du paramètre de réaction homogène kc améliore significativement la distribution de la concentration, ce qui suggère que des taux de réaction chimique plus élevés contribuent à maintenir la distribution des réactifs. À l’inverse, l’augmentation du paramètre de réaction hétérogène λ9 améliore le taux de diffusion des espèces chimiques, accélérant ainsi le processus de réaction chimique.

Conclusion et signification

Cette étude a réussi à construire un modèle mathématique capable de décrire avec précision le comportement de l’écoulement des fluides de Casson en introduisant le calcul fractionnaire. Ce modèle prend en compte les effets de la magnétohydrodynamique et des réactions chimiques, tout en intégrant des comportements non locaux et des effets de mémoire, améliorant ainsi significativement la capacité prédictive du modèle. Les résultats de l’étude approfondissent non seulement la compréhension de la dynamique des fluides non newtoniens, mais fournissent également un nouveau cadre théorique pour l’analyse des comportements complexes des fluides dans les processus industriels et les applications biomédicales.

Points forts de l’étude

1. Application du calcul fractionnaire : Première introduction de la dérivée fractionnaire de Caputo dans un modèle d’écoulement de fluide de Casson, améliorant significativement la précision et l’applicabilité du modèle.
2. Méthode numérique hybride : Combinaison de la méthode des différences finies et de la méthode des éléments finis, offrant une solution efficace aux équations aux dérivées partielles fractionnaires complexes et ouvrant de nouvelles perspectives pour les simulations numériques de problèmes similaires.
3. Analyse multiparamétrique : Analyse détaillée de l’impact de divers paramètres physiques sur la vitesse du fluide et la distribution de concentration, fournissant des références importantes pour l’optimisation des processus industriels et des applications biomédicales.

Autres informations utiles

Cette étude a été financée par le Bureau de la recherche et des études supérieures de l’Université King Khalid en Arabie Saoudite, sous le numéro de projet RGP.2/113/45. Les auteurs déclarent qu’il n’y a aucun conflit d’intérêts dans cet article et que toutes les données sont incluses dans l’article.

Grâce à cette recherche, les auteurs comblent non seulement une lacune théorique dans le domaine de la dynamique des fluides non newtoniens, mais fournissent également des orientations pratiques précieuses pour les applications industrielles connexes.