计算分数阶微分方程Lyapunov指数的最低成本研究

2025-03-11 Tue
背景介绍分数阶微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）是传统微积分的推广，允许微分和积分的阶数为非整数。这一数学框架在描述复杂动力学行为时表现出独特的优势，特别是在混沌系统和非线性系统的研究中。Lyapunov指数（Lyapunov Exponents, LEs）是衡量系统对初始条件敏感性的关键指标，常用于判断系统是否处于混沌状态。然而，计算分数阶混沌系统的Lyapunov指数通常计算成本较高，尤其是在高维系统中。因此，如何降低计算成本并提高计算效率成为分数阶混沌系统研究中的一个重要问题。
本文由Shuang Zhou, Qiyin Zhang, Shaobo He和Yingqian Zhang共同撰写，旨在通过Adomian分解法（Adomian Decomposition Method, ADM）系统研究分数阶微分方程中Lyapunov指数的计算成本问题。研究通过分析不同分解项和迭代步长对Lyapunov指数计算的影响，提出了优化计算效率和精度的方案。
论文来源作者: Shuang Zhou, Qiyin Zhang, Shaobo He, Yingqian Zhang

机构: Shuang Zhou和Qiyin Zhang分别来自贵州大学和中国重庆师范大学；Shaobo He来自湘潭大学；Yingqian Zhang来自厦门大学马来西亚分校。

发表时间: 2024年9月30日提交，2025年1月27日接受。

发表期刊: Springer Nature B.V.旗下的期刊。
研究流程1. 研究目标与方法本研究旨在通过Adomian分解法优化分数阶微分方程中Lyapunov指数的计算。研究重点关注分解项数量和迭代步长对计算结果的影响。通过分析三维和四维分数阶混沌系统，研究提出了最优的分解项数量和迭代步长，以提高计算效率和精度。
2. 实验设计与步骤研究选择了经典的三维Chen系统、简化Lorenz系统、修正的Van der Pol-Duffing系统（MADVP系统）以及Hastings-Powell食物链模型（HP模型）作为研究对象。具体步骤如下：
a) 系统建模与分解首先，研究将每个系统的分数阶微分方程通过Adomian分解法进行分解。Adomian分解法将非线性项展开为多项式，从而将系统解表示为无限级数的和。研究重点分析了分解项数量对解的影响，分解项数量从2项到7项不等。
b) 迭代计算与Lyapunov指数计算在每个系统中，研究使用QR分解法计算Lyapunov指数。通过调整迭代步长（h = 0.01, 0.001, 0.0001），研究分析了不同步长下Lyapunov指数的计算结果。此外，研究还通过MATLAB软件计算了系统的Jacobian矩阵，并基于QR分解法计算了Lyapunov指数。
c) 混沌吸引子轨迹分析研究还分析了不同分解项和迭代步长下混沌吸引子轨迹的变化。通过绘制吸引子轨迹图，研究验证了分解项数量和迭代步长对系统动力学行为的影响。
3. 主要结果a) 分解项数量的影响研究结果表明，分解项数量对Lyapunov指数的计算有显著影响。在三维Chen系统和简化Lorenz系统中，当分解项数量为3项时，Lyapunov指数的计算结果最为准确。当分解项数量减少到2项时，系统的Lyapunov指数表现出明显的偏差，且无法准确捕捉混沌行为。
b) 迭代步长的影响迭代步长对Lyapunov指数的计算精度也有重要影响。较小的步长（如h = 0.001或0.0001）能够显著提高数值计算的稳定性，尤其是在分解项数量较少的情况下。研究还发现，当步长较大（如h = 0.01）时，系统可能会出现非混沌状态，导致Lyapunov指数无法计算。
c) 混沌吸引子轨迹研究通过绘制混沌吸引子轨迹图，验证了分解项数量和迭代步长对系统动力学行为的影响。当分解项数量为3项且步长较小时，系统的混沌吸引子轨迹与高分解项数量的结果高度一致。
4. 结论与意义本研究通过Adomian分解法系统分析了分数阶微分方程中Lyapunov指数的计算成本问题。研究提出，在三维和四维分数阶混沌系统中，分解项数量为3项且步长较小时，能够显著提高计算效率和精度。这一发现为分数阶混沌系统的数值计算提供了重要的优化方案，具有较高的科学和应用价值。
研究亮点优化分解项数量: 研究首次提出在分数阶混沌系统中，分解项数量为3项时能够平衡计算效率和精度，为后续研究提供了重要参考。

迭代步长的影响: 研究发现较小的迭代步长能够显著提高数值计算的稳定性，尤其是在分解项数量较少的情况下。

广泛适用性: 研究结果不仅适用于经典的三维和四维混沌系统，还可以推广到更高维度的系统中，具有较高的普适性。
其他有价值的信息研究还发现，分解项数量和迭代步长的选择对系统的最低阶数（Lowest Order）有重要影响。通过优化这两个参数，研究能够更准确地确定系统的最低阶数，为分数阶混沌系统的建模和分析提供了新的思路。
本研究通过Adomian分解法系统优化了分数阶微分方程中Lyapunov指数的计算，为分数阶混沌系统的研究提供了重要的理论和方法支持。