学术背景与问题提出

在模糊集（Fuzzy Sets, FSs）的研究领域中，处理不确定性问题是核心挑战之一。模糊集由Zadeh于1965年首次提出，并迅速成为理论与应用研究的热点。随着研究的深入，模糊集的扩展形式——正交对模糊集（Orthopair Fuzzy Sets, OFSs）应运而生。OFSs通过引入正交对（即隶属度与非隶属度）来更全面地描述不确定性信息。Yager在2013年首次定义了OFSs，并提出了q阶正交对模糊集（q-Rung Orthopair Fuzzy Sets, q-ROFSs）的概念。随后，Gao和Zhang在2021年进一步提出了线性正交对模糊集（Linear Orthopair Fuzzy Sets, LOFs）及其对称形式——对称线性正交对模糊集（Symmetrical Linear Orthopair Fuzzy Sets, SLOFs）。

尽管t-范数（t-norms）和t-余范数（t-conorms）在q-ROFSs中得到了广泛应用，但在SLOFs中的应用尚未被深入探讨。t-范数和t-余范数是模糊集理论中的基本运算工具，它们在多准则决策（Multiple-Criteria Decision-Making, MCDM）中扮演着重要角色。因此，本文旨在填补这一研究空白，通过扩展和模拟直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）中的相关结果，探讨SLOFs中的t-范数、t-余范数及其在MCDM中的应用。

论文来源与作者信息

本文由Shan Gao、Xianyong Zhang和Zhiwen Mo共同撰写，他们分别来自四川师范大学数学科学学院、太原理工学院科学系以及四川师范大学Laurent数学中心。论文于2025年3月5日被《Cognitive Computation》期刊接受，并于同年发表。该期刊是Springer旗下的知名学术期刊，专注于认知计算及其应用领域的研究。

研究流程与主要内容

1. 研究流程

本文的研究流程分为以下几个步骤：

a) 理论基础与定义

首先，作者回顾了OFSs、q-ROFSs、LOFs和SLOFs的基本定义及其约束条件。特别地，SLOFs被分为三类：ω ≥ 1、0.5 < ω < 1和0 < ω ≤ 0.5。接着，作者引入了t-范数和t-余范数的基本定义，并探讨了它们在IFSs中的应用。

b) SLOFs中的t-范数与t-余范数构建

基于IFSs中的t-范数和t-余范数，作者提出了SLOFs中的t-范数和t-余范数的公理化定义，并通过模拟和扩展IFSs中的相关结果，构建了SLOFs中的t-范数和t-余范数。具体而言，作者首先给出了SLOFs中t-范数和t-余范数的一般性质，然后通过具体构造方法，提出了几种特殊的t-范数和t-余范数。

c) 加法与标量乘法运算

基于构建的t-范数和t-余范数，作者定义了SLOFs中的加法与标量乘法运算，并探讨了这些运算的性质。这些运算为后续的聚合操作提供了基础。

d) MCDM方法设计

最后，作者设计了一种基于SLOFs的MCDM方法，该方法结合了加法、标量乘法与聚合操作，并通过与q-ROFSs中的相应方法进行对比，验证了其高可靠性。

2. 主要结果

a) SLOFs中的t-范数与t-余范数

作者通过模拟和扩展IFSs中的t-范数和t-余范数，成功构建了SLOFs中的t-范数和t-余范数。具体而言，作者提出了三种类型的SLOFs中的t-范数和t-余范数，并证明了它们的合理性。这些结果为SLOFs中的运算提供了理论基础。

b) 加法与标量乘法运算

基于构建的t-范数和t-余范数，作者定义了SLOFs中的加法与标量乘法运算，并证明了这些运算具有良好的数学性质。这些运算为后续的聚合操作提供了支持。

c) MCDM方法

作者设计了一种基于SLOFs的MCDM方法，并通过两个实际案例验证了其高可靠性。与q-ROFSs中的相应方法相比，该方法在处理认知信息时表现出更高的灵活性和准确性。

结论与意义

本文通过扩展和模拟IFSs中的t-范数和t-余范数，成功构建了SLOFs中的t-范数和t-余范数，并定义了加法与标量乘法运算。这些运算为SLOFs中的聚合操作提供了基础，并进一步设计了一种基于SLOFs的MCDM方法。该方法在实际应用中表现出高可靠性，为处理认知信息提供了新的工具。

研究的亮点

1. 填补研究空白：本文首次在SLOFs中引入了t-范数和t-余范数，填补了这一领域的研究空白。
2. 运算构建：通过模拟和扩展IFSs中的相关结果，成功构建了SLOFs中的t-范数、t-余范数以及加法与标量乘法运算。
3. MCDM方法：设计了一种基于SLOFs的MCDM方法，并通过实际案例验证了其高可靠性。

其他有价值的信息

本文的研究不仅丰富了OFSs的理论体系，还为认知计算及其应用提供了新的方法。特别是基于SLOFs的MCDM方法，在处理复杂决策问题时具有广泛的应用前景。未来的研究可以进一步探讨SLOFs在其他领域中的应用，如人工智能、数据挖掘等。