Nouveaux résultats sur les théorèmes de stabilité et d'instabilité à temps fini pour les systèmes stochastiques non linéaires et variables dans le temps
Nouveaux Résultats sur les Théorèmes de Stabilité et d’Instabilité en Temps Fini pour les Systèmes Non Linéaires Stochastiques et Variants dans le Temps
1. Contexte et Importance de la Recherche
La théorie de la stabilité constitue un aspect central dans la théorie des systèmes et les applications en ingénierie, et elle est toujours une considération fondamentale dans l’analyse et la synthèse des systèmes. Les deux concepts les plus couramment utilisés dans la théorie de la stabilité sont la stabilité asymptotique (asymptotic stability) et la stabilité en temps fini (finite-time stability). La stabilité asymptotique décrit le comportement asymptotique de l’état du système lorsque le temps tend vers l’infini, tandis que la stabilité en temps fini se concentre sur la performance transitoire de l’état du système dans un intervalle de temps fini.
Dans de nombreux problèmes d’ingénierie, la stabilité en temps fini est plus importante que la stabilité asymptotique. Par exemple, dans les tâches de contrôle de trajectoire pour des manipulateurs robotiques ou de contrôle de l’orientation pour les véhicules sous-marins, l’attention se porte davantage sur la capacité du système à atteindre l’état souhaité dans un temps fini. Les systèmes présentant une stabilité en temps fini démontrent non seulement une meilleure robustesse, mais aussi un taux de convergence plus rapide. Cependant, les recherches actuelles sur la stabilité en temps fini comportent encore des lacunes. En particulier, les théories actuelles sur la stabilité en temps fini imposent souvent des contraintes strictes en exigeant que l’opérateur infinitésimal (infinitesimal generator, noté L_v) de la fonction de Lyapunov soit défini comme négatif ou non positif. Ces conditions sont trop restrictives et difficiles à appliquer à certains systèmes stochastiques non linéaires complexes.
C’est dans ce contexte que Weihai Zhang de l’université des sciences et technologies de Shandong et Liqiang Yao de l’université de Yantai ont mené une recherche approfondie sur les systèmes stochastiques non linéaires variants dans le temps. Cette recherche vise à surmonter les limites des résultats actuels sur la stabilité en temps fini et propose des conditions suffisantes plus souples pour garantir la stabilité ou l’instabilité des solutions stochastiques.
2. Source de l’Article
Cet article, intitulé « New results on finite-time stability and instability theorems for stochastic nonlinear time-varying systems », est publié dans le numéro de février 2025 (Volume 68, Issue 2) de Science China Information Sciences. Son DOI est : 10.1007/s11432-024-4118-x. Les auteurs principaux, Weihai Zhang et Liqiang Yao, sont affiliés respectivement à l’Université des sciences et technologies de Shandong et à l’Université de Yantai.
Cet article examine principalement les nouveaux théorèmes de stabilité et d’instabilité en temps fini dans un sens probabiliste pour les systèmes stochastiques non linéaires variants dans le temps. Il vise à combler les lacunes théoriques et à améliorer l’applicabilité de l’analyse des systèmes.
3. Contenu et Méthodes de la Recherche
Cet article est une recherche originale dont l’objectif principal est de proposer de nouvelles conditions moins restrictives concernant les fonctions de Lyapunov stochastiques, et de formuler de nouveaux critères pour la stabilité et l’instabilité en temps fini. Les principales étapes de la recherche comprennent les suivantes :
3.1 Modèle du Système et Définition du Problème Mathématique
Le modèle principal étudié par les auteurs est une classe de systèmes Itô stochastiques non linéaires, de la forme suivante :
$$ dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW(t), $$
où $x(t) \in \mathbb{R}^r$ représente l’état du système et $W(t)$ est un processus de Wiener standard (dimension $d$). Les fonctions $f$ et $g$ sont respectivement les termes de dérive variant dans le temps et de diffusion, qui satisfont les conditions de continuité et de Lipschitz local.
En fonction des propriétés du modèle, les auteurs se sont concentrés sur les questions principales suivantes :
1. Le problème de l’existence d’une solution pour le système stochastique, en offrant une version assouplie des conditions suffisantes pour garantir l’existence d’une solution globale.
2. En abandonnant la restriction stricte relative à L_v (exiger une négativité systématique), proposer de nouveaux théorèmes sur la stabilité et l’instabilité en temps fini, même lorsque L_v peut être indéfini (positif ou négatif).
3.2 Conditions d’Existence des Solutions Globales pour les Systèmes Stochastiques
En appliquant la théorie des processus stochastiques de Skorokhod et des lemmes connexes, les auteurs ont présenté deux nouveaux lemmes assurant l’existence de solutions globales pour les systèmes stochastiques. En particulier, ils ont assoupli les conditions strictes imposées dans les travaux antérieurs, tels que [23], où les termes de dérive et de diffusion nécessitaient des contraintes strictes de frontière. Ainsi, ces lemmes sont applicables à une catégorie plus large de systèmes non linéaires stochastiques.
Lemme 1 : S’il existe une constante $h > 0$ telle que le système stochastique satisfait la condition suivante :
$$ |f(t, x)|^2 + ||g(t, x)||^2 \leq h(1 + |x|^2), $$
alors le processus stochastique admet une solution continue, définissable sur $[t_0, \infty)$.
3.3 Théorèmes de Stabilité en Temps Fini
Pour surmonter les restrictions strictes des théories actuelles sur la stabilité stochastique concernant les fonctions de Lyapunov, les auteurs ont introduit une catégorie de critères de stabilité en temps fini liés à une “fonction uniformément asymptotiquement stable” (Uniformly Asymptotically Stable Function, abrégé UASF). Les principaux théorèmes sont les suivants :
Théorème 1 :
S’il existe une solution globale $x(t)$ et que les conditions suivantes sont respectées : 1. Pour tout sous-ensemble fermé $U \subseteq \mathbb{R}^r$, la fonction $v(t, x)$ satisfait les contraintes positives : $\gamma(|x|) \leq v(t, x) \leq \bar{\gamma}(|x|)$. 2. L’opérateur générateur infinitésimal $L_v$ respecte la condition suivante : $L_v(t, x) \leq \mu(t) \cdot [v(t, x)]^\kappa$, où $\kappa \in [0, 1)$ et $\mu(t)$ est une UASF.
Sous ces conditions, la solution du système est stable en temps fini dans un sens probabiliste.
Avec ce théorème, les auteurs ont étendu avec succès les théories existantes, relâchant l’obligation stricte que $L_v$ soit défini comme négatif. En outre, grâce à l’expressivité généralisée de $\kappa$, ces résultats garantissent une meilleure généralisation.
Théorème 2 :
Lorsque $\kappa = 0$, le Théorème 1 se réduit au Théorème 2. Dans cette configuration simplifiée, il est toujours applicable aux résultats spécifiques existants, par exemple ceux des références [21] et [23] portant sur la stabilité asymptotique en temps fini.
4. Principaux Résultats Expérimentaux et Vérifications
4.1 Cas 1 : Analyse de la Stabilité d’un Système Stochastique Non Stationnaire
Considérons le système stochastique suivant :
$$ dx(t) = \frac{1}{2} \mu(t)x^{1⁄3}(t)dt - \frac{1}{2}x(t)dt + x(t)\cos(x(t))dW(t), $$
où $\mu(t)$ est une fonction continue par morceaux pouvant être positive ou négative. Les critères classiques de stabilité en temps fini ne permettent pas d’analyser ce système directement.
- Méthode expérimentale : Prenons la fonction de Lyapunov $v(x) = x^2$.
- Résultat de la vérification : En calculant $L_v = \mu(t) v^{2⁄3}(x)$, il est démontré que le système est stable en temps fini lorsque $\mu(t)$ satisfait certaines conditions.
4.2 Cas 2 : Stabilité en Temps Fini pour un Système Contrôlé
Un système non linéaire stochastique est stabilisé en temps fini à l’aide d’un contrôleur de feedback : $$ dx(t) = \mu(t)x^{1⁄5}(t)dt + x^{3⁄5}(t)dW(t), $$ Le contrôleur $u(t)$ est conçu sous forme de fonction non linéaire. Une simulation numérique prouve que l’état du système converge vers un équilibre en temps fini.
5. Importance et Points Forts de cette Recherche
Cette étude offre les contributions suivantes : 1. Innovation théorique : En proposant de nouveaux critères allégés pour l’opérateur générateur de Lyapunov, elle fournit une plus grande flexibilité pour l’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques stochastiques. 2. Simplicité algorithmique : Avec l’introduction de la UASF, le cadre analytique est simplifié, offrant ainsi de nouvelles perspectives pour la conception pratique de la stabilité dans les problèmes d’ingénierie. 3. Large applicabilité : Les expériences numériques présentées montrent que la méthode est efficace dans l’analyse de systèmes complexes non stationnaires, jetant ainsi les bases théoriques pour l’extension des algorithmes de contrôle pratique.
Ces résultats représentent une avancée importante pour l’analyse de la stabilité et le contrôle des systèmes stochastiques complexes en temps fini, avec des perspectives d’application prometteuses dans des domaines tels que le contrôle robotique, le traitement de signaux, et la modélisation et optimisation des systèmes complexes.